代数特征值问题

第一章 理论基础
引言
定义
转置矩阵的特征值与特征向量
不相同的特征值
相似变换
重特征值与一般矩阵的标准型
亏损特征向量系
Jordan 经典的 标准型
初等因子
A的特征多项式的友矩阵
非减次矩阵
Frobenius 有理的 标准型
Jordan标准型与Frobenius标准型的关系
相抵变换
矩阵
初等运算
Smith标准型
矩阵的k行子式的最大公因子
A-I 的不变因子
三角标准型
Hermite矩阵与对称矩阵
Hermite矩阵的基本性质
复对称矩阵
用酉变换化成三角型
二次型
正定性的充要条件
常系数微分方程
对应于非线性初等因子的解
高阶微分方程
特殊形式的二阶方程
By=-Ay的显式解
形如 AB-I x＝0的方程
向量的最小多项式
矩阵的最小多项式
Cayley-Hamilton定理
最小多项式与标准型的关系
主向量
初等相似变换
初等矩阵的性质
用初等相似变换化成三角标准型
初等酉变换
初等酉Hermite矩阵
用初等酉变换化成三角型
正规矩阵
可交换矩阵
AB的特征值
向量与矩阵的范数
从属的矩阵范数
Euclid范数与谱范数
范数与极限
避免使用矩阵无穷级数
第二章 摄动理论
引言
关于特征值连续性的Ostrowski定理
代数函数
数值例题
单特征值的摄动理论
对应特征向量的摄动
具有线性初等因子的矩阵
特征值的一阶摄动
特征向量的一阶摄动
高阶摄动
重特征值
Gerschgorin定理
基于Gerschgorin定理的摄动理论
情形1具有线性初等因子矩阵的单特征值1的摄动
情形2具有线性初等因子矩阵的重特征值1的摄动
情形3具有一个或多个非线性初等因子矩阵的单特征
值的摄动
情形4相应于非减次矩阵非线性因子的特征值的摄动
情形5当有一个以上 i- 幂次的初等因子且至
少有一个为非线性时, 特征值i的摄动
相应于非线性因子一般分布的摄动
根据Jordan标准型的特征向量的摄动理论
相应于重特征值 线性初等因子 的特征向量的摄动
摄动理论的限度
si之间的关系
计算问题的条件
条件数
矩阵A关于特征值问题的谱条件数
谱条件数的性质
条件数的不变性
非常病态的矩阵
实对称矩阵的摄动理论
非对称摄动
对称摄动
经典方法
秩为1的对称矩阵
特征值的极值性质
特征值的极小-极大性质
两个对称矩阵之和的特征值
实际应用
极小-极大原理的进一步应用
分隔定理
Wielandt-Hoffman定理
第三章 误差分析
引言
定点运算
内积的累加
浮点运算
误差界的简化表示
某些基本浮点计算的误差界
误差矩阵的范数的界
浮点运算中内积的累加
某些基本fl2
计算的误差界
平方根的计算
块浮点向量和矩阵
t位计算的基本限制
用相似变换作简化的特征值方法
基于初等非酉变换方法的误差分析
基于初等酉变换的方法的误差分析
酉变换的优越性
实对称矩阵
酉变换的限度
用浮点计算的平面旋转的误差分析
用平面旋转的乘法
用一系列平面旋转做乘法
近似的平面旋转乘积的误差
相似变换的误差
对称矩阵
定点运算的平面旋转
sin和cos的另一种算法
用近似的定点旋转左乘
用一系列平面旋转相乘 定点
一组近似平面旋转的计算乘积
相似变换的误差
关于误差界的总评述
浮点计算的初等Hermite矩阵
初等Hermite矩阵计算的误差分析
数值例子
用近似的初等Hermite矩阵左乘
用近似的初等Hermite矩阵序列的乘法
类似平面旋转的非酉初等矩阵
类似于初等Hermite矩阵的非酉初等矩阵
用非酉矩阵序列左乘
先验的误差界
正规性的偏离
简单的例子
后验的界
正规矩阵的后验的界
Rayleigh商
Rayleigh商的误差
Hermite矩阵
病态地靠近的特征值
非正规矩阵
完全特征系的误差分析
数值例子
限制可达精度的条件
非线性初等因子
近似的不变子空间
几乎正规矩阵
第四章 线性代数方程组的解法
引言
摄动理论
条件数
平衡矩阵
简单的实际例子
特征向量矩阵的条件
显式解
对矩阵条件的总评述
病态和几乎奇异的关系
t位运算的限制
解线性方程组的算法
Gauss消去法
三角形分解
三角形分解矩阵的结构
三角形矩阵元素的显式表达式
Gauss消去法的中断
数值稳定性
交换的重要性
数值例子
Gauss消去法的误差分析
用定点运算的摄动矩阵的上界
约化后的矩阵元素的上界
全主元素
部分主元素方法的实际过程
浮点误差分析
不选主元素的浮点分解
有效位的损失
流传的谬误
特殊形式的矩阵
在高速计算机上的Gauss消去法
对应不同的右端的解
直接的三角形分解
Gauss消去法和直接的三角形分解的关系
分解不唯一和失败的例子
有行交换的三角形分解
三角形分解的误差分析
行列式计算
Cholesky分解
对称非正定矩阵
定点运算Cholesky分解的误差分析
病态矩阵
用初等Hermite矩阵的三角形化
Householder三角形化的误差分析
用M''ji型初等稳定矩阵的三角形化
前主子式的计算
用平面旋转的三角形化
Givens约化的误差分析
正交三角形化的唯一性
Schmidt正交化
三角形化方法的比较
向后回代
三角形方程组的计算解的高精度
一般的方程组的解
一般矩阵的逆的计算
计算解的精度
没有小主元素的病态矩阵
近似解的迭代改进
迭代过程中舍入误差的影响
定点计算的迭代过程
迭代过程的一个简单例子
迭代过程的总评述
有关的迭代法
迭代过程的极限
迭代法的严格的调整
第五章 Hermite矩阵
引言
实对称矩阵的经典Jacobi方法
收敛率
收敛于固定的对角矩阵
顺序Jacobi方法
Gerschgorin圆
Jacobi方法的最后的二次收敛性
靠近的和重的特征值
数值例子
cos和sin的计算
更简单的转角计算方法
过关Jacobi方法
特征向量计算
数值例子
Jacobi方法的舍入误差
计算的特征向量的精确度
用定点计算的误差界
程序编制问题
Givens方法
在有两级存储设备的计算机上实现Givens方法
Givens方法的浮点误差分析
定点误差分析
数值例子
Householder方法
利用对称性
存储方案的研究
在有内. 外存储设备的计算机上实现Householder方法
用定点运算的Householder方法
数值例子
Householder方法的误差分析
对称三对角矩阵的特征值
Sturm序列性质
分半法
分半法的数值稳定性
数值例子
关于分半法的总评述
小特征值
靠近的特征值和小Bi
特征值的定点计算
三对角型的特征向量计算
特征向量显式表达式的不稳定性
数值例子
逆迭代
初始向量b的选择
误差分析
数值例子
靠近的特征值和小的Bi
对应重特征值的线性独立特征向量
计算特征向量的交替方法
数值例子
三对角矩阵特征问题的评论
Givens和Householder方法的完成
方法的比较
拟对称三对角矩阵
特征向量的计算
形如Ax＝Bx和ABx＝x的方程
数值例子
同时简化A和B为对角型
三对角矩阵A和B
复Hermite矩阵
第六章 化一般矩阵为压缩型
引言
Givens方法
Householder方法
存储方案的研究
误差分析
Givens方法与Householder方法的关系
初等稳定变换
置换的意义
直接约化矩阵为Hessenberg型
结合交换
数值例子
误差分析
有关的误差分析
Hessenberg矩阵的劣定
用M''ji型稳定矩阵化为Hessenberg型
Krylov方法
逐列Gauss消去法
实际的困难
对于某些标准的特征值分布的C的条件
级小于n的初始向量
实际的经验
广义Hessenberg方法
广义Hessenberg方法的失败
Hessenberg方法
实际的方法
Hessenberg方法与以前的方法的关系
Arnoldi方法
实际的考虑
再正交化的重要性
Lanczos方法
过程的故障
数值例子
实际的Lanczos方法
数值例子
非对称的Lanczos方法的总评述
对称的Lanczos方法
化Hessenberg矩阵为更压缩的形式
化下Hessenberg矩阵为三对角型
使用交换
小主元素的影响
误差分析
应用于下Hessenberg型的Hessenberg方法
Hessenberg方法与Lanczos方法的关系
化一般矩阵为三对角型
和Lanczos方法比较
化矩阵为三对角型的重新考察
化上Hessenberg型为Frobenius型
小主元素的影响
数值例子
关于稳定性的总评述
特殊的上Hessenberg型
直接确定特征多项式
第七章 压缩型矩阵的特征值
引言
显式多项式形式
显式多项式的条件数
某些典型的零点分布
Krylov方法的总评述
显式多项式的总评述
三对角矩阵
Hessenberg矩阵的行列式
舍入误差的影响
浮点累加
用正交变换计算
一般矩阵的行列式计算
广义特征值问题
间接确定特征多项式
Le Verrier方法
以插值为基础的迭代拄
渐近收敛率
多重零点
函数关系的逆
区间分半法
Newton法
Newton法与插值法的比较
三次收敛的方法
Laguerre方法
复零点
复共轭零点
Bairstow方法
广义的Bairstow方法
实际的考虑
舍入误差对渐近收敛性的影响
区间分半法
逐次线性插值
多重的和病态靠近的特征值
其他的插值法
使用导数的方法
接收零点的准则
舍入误差的影响
消除已计算的零点
Hessenberg矩阵的降阶
三对角矩阵的降阶
用旋转或稳定的初等变换降阶
降阶的稳定性
关于降阶的总评述
消除已计算的零点
消除已计算的二次因子
关于消除零点方法的总评述
渐近收敛率
大范围的收敛性
复零点
建议
复矩阵
含有独立参数的矩阵
第八章 LR和QR算法
引言
有复特征值的实矩阵
LR算法
As的收敛性证明
正定Hermite矩阵
复共轭特征值
引进交换
数值例子
修改过程的收敛性
初始矩阵的预先约化
上Hessenberg型的不变性
行和列同时运算
收敛的加速
结合原点的移动
选择原点的移动
矩阵降阶
关于收敛性的实际经验
改进的移动策略
复共轭特征值
修正的LR算法的缺点
QR算法
QR算法的收敛性
收敛性的正式证明
特征值的不同顺序
等模的特征值
LR算法的另一个证明
QR算法的实际应用
原点移动
As的分解
数值例子
实际的方法
避免复共轭位移
用初等Hermite变换的双步QR
计算的细节
As的分解
LR的双位移技术
对LR算法和QR算法的评述
多重特征值
降阶法的特殊用途
对称矩阵
LR算法与QR算法的关系
Cholesky LR算法的收敛性
QR算法的三次收敛性
Cholesky LR中的原点位移
Cholesky分解失败
三次收敛的LR方法
带状矩阵
带状矩阵的QR分解
误差分析
非对称带状矩阵
在QR算法中同时分解和复合
缩小带宽
第九章 迭代法
引言
幂法
单个向量的直接迭代
原点移动
舍入误差的影响
P的变化
P的特别选择
Aitken的加速方法
复共轭特征值
复特征向量的计算
原点移动
非线性初等因子
同时决定几个特征值
复矩阵
收缩法
用相似变换的收缩法
用不变子空间的收缩法
用稳定初等变换的收缩法
用酉变换的收缩法
数值稳定性
数值例子
酉变换的稳定性
非相似变换的收缩法
用不变子空间的一般约化
实际应用
梯级迭代
复共轭特征值的精度确定
十分靠近的特征值
正交化方法
正交化的梯级迭代
双迭代
数值例子
Richardson改进方法
矩阵平方法
数值稳定性
Chebyshev多项式的使用
关于直接迭代的总评述
逆迭代
逆迭代的误差分析
分析的总评述
特征向量的进一步改进
非线性初等因子
Hessenberg矩阵的逆迭代
退化情况
带形矩阵逆迭代
复共轭特征向量
误差分析
数值例子
广义特征值问题
近似特征值的变更
特征系的改进
数值例子
特征向量的改进
复共轭特征值
重的和非常靠近的特征值
对ACE程序的评述
参考文献