大学数学考研专题复习（2005年修订版）

第一章极限与连续………………………………………………………………………l
§1.1极限的概念与性质……………………………………………………………1
1.1.1极限的基本概念………………………………………………………1
1.1.2极限的性质…………………………………………………………………4
1.1.3数列与函数的某些特性的判断……………………………………………8
§1.2函数的连续性…………………………………………………………………10
1.2.1　函数连续的概念……………………………………………………………10
1.2.2　函数间断的概念……………………………………………………………12
1.2.3　闭区间上连续函数的性质…………………………………………………15
§1.3极限存在的准则………………………………………………………………16
§1.4极限的计算……………………………………………………………………22
1.4.1基本型不定式极限的计算…………………………………………………22
1.4.2幂指函数极限的计算………………………………………………………29
1.4.3极限中参数的确定…………………………………………………………32
1.4.4利用导数的定义求极限……………………………………………………35
1.4.5利用定积分的定义求极限…………………………………………………36
1.4.6含有变限定积分的极限的计算……………………………………………38
练习一…………………………………………………………………………………40
第二章一元函数微分学…………………………………………………………………46
§2.1导数与微分的概念……………………………………………………………46
2.1.1导数的定义…………………………………………………………………46
2.1.2导数的基本性质……………………………………………………………48
2.1.3分段函数的可导性…………………………………………………………50
2.1.4微分的定义…………………………………………………………………52
§2.2导数的计算与应用……………………………………………………………53
2.2.1若干基本类型函数的导数………………………………………………...53
2.2.2　高阶导数……………………………………………………………………58
2.2.3　函数的最大值与最小值……………………………………………………62
§2.3导数的若干证明………………………………………………………………64
练习二…………………………………………………………………………………71
第三章一元函数积分学…………………………………………………………………77
§3.1　一元函数积分的概念与性质…………………………………………………77
3.1.1　不定积分与定积分的概念与性质…………………………………………77
3.1.2广义积分的概念与性质……………………………………………………80
§3.2变限定积分……………………………………………………………………83
3.2.1变限定积分函数的概念与性质……………………………………………83
3.2.2　变限定积分函数的连续性与可导性………………………………………86
3.2.3　变限定积分的导数与积分的计算…………………………………………88
§3.3积分的计算……………………………………………………………………90
3.3.1不定积分的计算……………………………………………………………90
3.3.2定积分的计算………………………………………………………………97
3.3.3分段函数的积分的计算…………………………………………………101
3.3.4广义积分的计算…………………………………………………………103
§3.4定积分的若干证明…………………………………………………………105
练习三…………………………………………………………………………………110
第四章方程实根的讨论…………………………………………………………………115
§4.1利用连续函数性质讨论方程的实根………………………………………115
§4.2结合函数性态分析讨论方程的实根………………………………………118
§4.3利用微分中值定理讨论方程的实根………………………………………119
§4.4结合定积分的性质讨论方程的实根……………………………………130
练习四…………………………………………………………………………………133
第五章无穷级数………………………………………………………………………138
§5.1无穷级数的基本概念………………………………………………………138
5.1.1数项级数的基本概念……………………………………………………138
5.1.2　函数项级数的基本概念…………………………………………………145
§5.2无穷级数敛散性的判断……………………………………………………146
§5.3幂级数的收敛域及其和函数……………………………………………158
5.3.1幂级数收敛域的确定……………………………………………………158
5.3.2幂级数和函数的求取……………………………………………………161
5.3.3数项级数和的求取………………………………………………………167
练习五…………………………………………………………………………………169
第六章一元函数及其性态………………………………………………………………173
§6.1　函数…………………………………………………………………………173
6.1.1　函数的概念………………………………………………………………173
6.1.2　函数构造…………………………………………………………………178
§6.2　一元函数性态的分析……………………………………………………180
§6.3　函数的泰勒公式与泰勒级数展开…………………………………………186
6.3.1　函数的泰勒公式…………………………………………………………186
6.3.2　函数的泰勒级数展开……………………………………………………188
§6.4　函数的傅里叶级数展开……………………………………………………195
练习六…………………………………………………………………………………203
第七章常微分方程………………………………………………………………………207
§7.1　常微分方程的基本概念及其解的性质……………………………………207
7.1.1　常微分方程的基本概念…………………………………………………207
7.1.2线性微分方程解的性质与解的结构理论………………………………209
§7.2线性微分方程………………………………………………………………210
7.2.1　一阶线性微分方程………………………………………………………210
7.2.2常系数线性微分方程……………………………………………………216
7.2.3　变系数线性微分方程……………………………………………………218
§7.3非线性微分方程……………………………………………………………222
7.3.1利用变量代换求解微分方程……………………………………………222
7.3.2可降阶的非线性微分方程………………………………………………228
§7.4微分方程的应用问题………………………………………………………229
练习七…………………………………………………………………………………232
第八章多元函数微分学…………………………………………………………………237
§8.1　多元函数的基本概念与性质………………………………………………237
8.1.1　多元函数的概念与二元函数的泰勒公式………………………………237
8.1.2多元函数的极限与连续…………………………………………………238
8.1.3多元函数的偏导数………………………………………………………240
8.1.4全微分……………………………………………………………………244
§8.2偏导数与全微分的计算……………………………………………………248
§8.3　多元函数的优化问题………………………………………………………260
练习八………………………………………………………………………………265
第九章重积分……………………………………………………………………………269
§9.1　重积分的概念与性质………………………………………………………269
§9.2重积分的计算………………………………………………………………278
§9.3无界区域上广义重积分的概念与计算……………………………………286
练习九…………………………………………………………………………………287
第十章不等式的证明……………………………………………………………………292
§10.1利用基本不等式证明不等式………………………………………………292
§10.2利用导数证明不等式………………………………………………………294
§10.3定积分不等式的证明………………………………………………………305
§10.4重积分不等式的证明………………………………………………………319
"　练习十…………………………………………………………………………………325
第十一章积分的应用……………………………………………………………………329
§11.1　积分的几何应用…………………………………………………………329
§11.2积分的物理应用…………………………………………………………339
练习十一………………………………………………………………………………349
第十二章矢量代数·解析几何·场论……………………………………………………351
§12.1　矢量代数……………………………………………………………………351
§12.2空间解析几何………………………………………………………………355
12.2.1平面与直线………………………………………………………………355
12.2.2　空间曲面及其方程………………………………………………………363
12.2.3　空间曲线及其方程………………………………………………………366
§12.3场论初步……………………………………………………………………369
练习十二………………………………………………………………………………374
第十三章曲面积分与曲线积分…………………………………………………………377
§13.1　第一类曲线积分与曲面积分………………………………………………377
13.1.1　第一类曲线积分…………………………………………………………377
13.1.2第一类曲面积分…………………………………………………………381
§13.2第二类曲面积分……………………………………………………………384
13.2.1第二类曲面积分的概念与性质………………………………………385
13.2.2第二类曲面积分的计算…………………………………………………386
§13.3第二类曲线积分……………………………………………………………395
13.3.1第二类曲线积分的概念与性质…………………………………………395
13.3.2　第二类曲线积分的计算…………………………………………………397
13.3.3平面曲线积分与路径无关………………………………………………406
13.3.4　曲线积分的不等式………………………………………………………411
练习十三………………………………………………………………………………412
第十四章函数方程………………………………………………………………………417
练习十四………………………………………………………………………………431
第十五章经济学中的若干数学问题……………………………………………………434
§15.1微积分在经济学中的应用…………………………………………………434
15.1.1极限在经济学中的应用…………………………………………………434
15.1.2利用定积分求解经济应用问题…………………………………………435
15.1.3利用导数求解经济应用问题……………………………………………438
15.1.4利用最优化原则求解经济应用问题……………………………………441
§15.2差分方程及其在经济学中的应用…………………………………………444
练习十五………………………………………………………………………………447
第十六章行列式…………………………………………………………………………450
§16.1　咒阶行列式的定义………………………………………………………450
§16.2行列式的计算………………………………………………………………452
16.2.1　可直接用定义求出的四类基本形………………………………………452
16.2.2行列式的性质……………………………………………………………453
16.2.3三种计算行列式的方法…………………………………………………457
16.2.4几类行列式………………………………………………………………463
16.2.5　用拉普拉斯定理得到的四类行列式的基本形…………………………466
练习十六………………………………………………………………………………468
第十七章矩阵……………………………………………………………………………472
§17.1矩阵的概念和运算…………………………………………………………472
17.1.1矩阵的概念和特殊矩阵…………………………………………………472
17.1.2矩阵的运算………………………………………………………………474
§17.2矩阵的秩和等价……………………………………………………………488
17.2.1矩阵的秩…………………………………………………………………488
17.2.2矩阵的等价………………………………………………………………489
§17.3两种方法：矩阵的分块和等价标准形……………………………………491
练习十七………………………………………………………………………………495
第十八章线性方程组……………………………………………………………………500
§18.1解线性方程组的方法和理论………………………………………………500
§18.2解含有参数的线性方程组……………………………………………506
§18.3在解析几何中的应用………………………………………………………510
练习十八………………………………………………………………………………514
第十九章向量与向量空间………………………………………………………………517
§19.1　向量的概念和线性关系……………………………………………………517
19.1.1　向量的一些基本概念……………………………………………………517
.19.1.2　向量的线性关系…………………………………………………………517
19.1.3　向量线性关系的理论……………………………………………………520
§19.2　向量空间的一些基本的概念………………………………………………523
19.2.1　向量空间及子空间………………………………………………………523
19.2.2基，坐标及基变换、坐标变换……………………………………………525
19.2.3　内积和标准正交基………………………………………………………527
§19.3用向量的观点来看矩阵和线性方程组……………………………………529
§19.4两组贯串前四章的典型题…………………………………………………532
练习十九………………………………………………………………………………535
第二十章矩阵的相似(特征值和特征向量)……………………………………………540
§20.1矩阵的相似和对角化………………………………………………………540
§20.2相似的理论和应用…………………………………………………………545
§20.3　实对称矩阵的对角化………………………………………………………552
20.3.1实对称矩阵………………………………………………………………552
20.3.2正交矩阵的性质…………………………………………………………555
练习二十………………………………………………………………………………557
第二十一章二次型………………………………………………………………………561
§21.1二次型及标准形(矩阵的合同)……………………………………………561
21.1.1　二次型的定义及其矩阵表示……………………………………………561
21.1.2二次型的标准形，规范形，矩阵的合同…………………………………562
§21.2正定二次型(正定矩阵)……………………………………………………568
§21.3矩阵的等价、相似、合同……………………………………………………573
21.3.1定义、判别法和性质……………………………………………………574
21.3.2应用………………………………………………………………………576
§21.4第三组题……………………………………………………………………577
练习二十一……………………………………………………………………………579
第二十二章概率论的基本概念…………………………………………………………584
§22.1　随机事件与概率……………………………………………………………584
22.1.1随机事件…………………………………………………………………584
22.1.2概率………………………………………………………………………586
22.1.3古典概率问题的计算………………………………………………589
22.1.4)l-何概率的计算…………………………………………………………590
§22.2随机变量及其分布…………………………………………………………591
22.2.1　离散型随机变量…………………………………………………………591
22.2.2随机变量的分布函数……………………………………………………596
22.2.3连续型随机变量…………………………………………………………597
练习二十二……………………………………………………………………………603
第二十三章条件概率与条件分布………………………………………………………610
§23.1条件概率及有关公式………………………………………………………610
23.1.1条件概率…………………………………………………………………610
23.1.2乘法公式…………………………………………………………………611
23.1.3全概率公式………………………………………………………………612
23.1.4贝叶斯公式………………………………………………………………613
§23.2条件分布……………………………………………………………………614
23.2.1条件分布律………………………………………………………………614
23.2.2条件密度函数……………………………………………………………616
练习二十三……………………………………………………………………………617
第二十四章随机变量的进一步讨论……………………………………………………621
§24.1　随机变量的数字特征………………………………………………………621
24.1.1　随机变量的数学期望与方差………………………………………621
24.1.2协方差与相关系数………………………………………………………625
24.1.3矩…………………………………………………………………………626
24.1.4随机变量之间关系小结…………………………………………………627
§24.2随机变量函数的分布………………………………………………………629
24.2.1　离散型随机变量函数的分布…………………………………………629
24.2.2一维连续型随机变量函数的分布………………………………………630
24.2.3二维连续型随机变量函数的分布………………………………………631
§24.3极限定理……………………………………………………………………634
练习二十四……………………………………………………………………………636
第二十五章数理统计初步………………………………………………………………647
§25.1基本概念……………………………………………………………………647
§25.2参数估计……………………………………………………………………652
§25.3假设检验……………………………………………………………………660
练习二十五……………………………………………………………………………665