数值分析（第4版）

第1章  绪论                  
 1. 1  数值分析研究对象与特点                  
 1. 2  数值计算的误差                  
 1. 2. 1  误差来源与分类                  
 1. 2. 2  误差与有效数字                  
 1. 2. 3  数值运算的误差估计                  
 1. 3  误差定性分析与避免误差危害                  
 1. 3. 1  病态问题与条件数                  
 1. 3. 2  算法的数值稳定性                  
 1. 3. 3  避免误差危害的若干原则                  
 评注                  
 习题                  
 第2章  插值法                  
 2. 1  引言                  
 2. 2　拉格朗日插值                  
 2. 2. 1　线性插值与抛物插值                  
 2. 2. 2　拉格朗日插值多项式                  
 2. 2. 3　插值余项与误差估计                  
 2. 3　均差与牛顿插值公式                  
 2. 3. 1　均差及其性质                  
 2. 3. 2　牛顿插值公式                  
 2. 4　差分与等距节点插值                  
 2. 4. 1　差分及其性质                  
 2. 4. 2　等距节点插值公式                  
 2. 5　埃尔米特插值                  
 2. 6　分段低次插值                  
 2. 6. 1　高次插值的病态性质                  
 2. 6. 2　分段线性插值                  
 2. 6. 3　分段三次埃尔米特插值                  
 2. 7　三次样条插值                  
 2. 7. 1　三次样条函数                  
 2. 7. 2　样条插值函数的建立                  
 2. 7. 3　误差界与收敛性                  
 评注                  
 习题                  
 第3章　函数逼近与曲线拟合                  
 3. 1　函数逼近的基本概念                  
 3. 1. 1　函数逼近与函数空间                  
 3. 1. 2　范数与赋范线性空间                  
 3. 1. 3　内积与内积空间                  
 3. 2　正交多项式                  
 3. 2. 1　正交函数族与正交多项式                  
 3. 2. 2　勒让德多项式                  
 3. 2. 3　切比雪夫多项式                  
 3. 2. 4　其他常用的正交多项式                  
 3. 3　最佳一致逼近多项式                  
 3. 4. 1　基本概念及其理论                  
 3. 3. 2　最佳一次逼近多项式                  
 3. 4　最佳平方逼近                  
 3. 4. 1  最佳平方逼近及其计算                  
 3. 4. 2　用正交函数族作最佳平方逼近                  
 3. 5  曲线拟合的最小二乘法                  
 3. 5. 1　最小二乘法及其计算                  
 3. 5. 2　用正交多项式做最小二乘拟合                  
 3. 6　最佳平方三角逼近与快速博里叶变换                  
 3. 6. 1　最佳平方三角逼近与三角插值                  
 3. 6. 2　快速傅氏变换（FFT）                  
 3. 7　有理逼近                  
 3. 7. 1　有理逼近与连分式                  
 3. 7. 2　帕德逼近                  
 评注                  
 习题                  
 第4章　数值积分与数值微分                  
 4. 1　引言                  
 4. 1. 1　数值求积的基本思想                  
 4. 1. 2　代数精度的概念                  
 4. 1. 3　插值型的求积公式                  
 4. 1. 4　求积公式的收敛性与稳定性                  
 4. 2　牛顿－柯特斯公式                  
 4. 2. 1　柯特斯系数                  
 4. 2. 2　偶阶求积公式的代数精度                  
 4. 2. 3　几种低阶求科公式的余项                  
 4. 3　复化求积公式                  
 4. 3. 1　复化梯形公式                  
 4. 3. 2　复化辛普森求积公式                  
 4. 4　龙贝格求积公式                  
 4. 4. 1　梯形法的递推化                  
 4. 4. 2　龙贝格算法                  
 4. 4. 3　理查森外推加速法                  
 4. 5　高斯求积公式                  
 4. 5. 1　一般理论                  
 4. 5. 2　高斯－勒让德求积公式                  
 4. 5. 3　高斯－切比雪夫求积公式                  
 4. 6　数值微分                  
 4. 6. 1　中点方法与误差分析                  
 4. 6. 2　插值型的求导公式                  
 4. 6. 3　利用数值积分求导                  
 4. 6. 4　三次样条求导                  
 4. 6. 5　数值微分的外推算法                  
 评注                  
 习题                  
 第5章　解线性方程组的直接方法                  
 5. 1　引言与预备知识                  
 5. 1. 1　引言                  
 5. 1. 2　向量和矩阵                  
 5. 1. 3　特殊矩阵                  
 5. 2　高斯消去法                  
 5. 2. 1　高斯消去法                  
 5. 2. 2　矩阵的三角分解                  
 5. 3　高斯主元素消去法                  
 5. 3. 1　列主元素消去法                  
 5. 3. 2　高斯－若当消去法                  
 5. 4　矩阵三角分解法                  
 5. 4. 1　直接三角分解法                  
 5. 4. 2　平方根法                  
 5. 4. 3　追赶法                  
 5. 5　向量和矩阵的范数                  
 5. 6　误差分析                  
 5. 6. 1　矩阵的条件数                  
 5. 6. 2　迭代改善法                  
 5. 7　矩阵的正交三角化及应用                  
 5. 7. 1　初等反射阵                  
 5. 7. 2　平面旋转矩阵                  
 5. 7. 3　矩阵的QR分解                  
 5. 7. 4　求解超定方程组                  
 评注                  
 习题                  
 第6章　解线性方程组的迭代法                  
 6. 1　引言                  
 6. 2　基本迭代法                  
 6. 2. 1　雅可比迭代法                  
 6. 2. 2　高斯－塞德尔迭代法                  
 6. 2. 3　解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法                  
 6. 3　迭代法的收敛性                  
 6. 3. 1　一阶定常迭代法的基本定理                  
 6. 3. 2　关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性                  
 6. 4　分块迭代法                  
 评注                  
 习题                  
 第7章　非线性方程求根                  
 7. 1　方程求根与二分法                  
 7. 1. 1　引言                  
 7. 1. 2　二分法                  
 7. 2　迭代法及其收敛性                  
 7. 2. 1　不动点迭代法                  
 7. 2. 2　不动点的存在性与迭代法的收敛性                  
 7. 2. 3　局部收敛性与收敛阶                  
 7. 3　迭代收敛的加速方法                  
 7. 3. 1　埃特金加速收敛方法                  
 7. 3. 2　斯蒂芬森迭代法                  
 7. 4　牛顿法                  
 7. 4. 1　牛顿法及其收敛性                  
 7. 4. 2　牛顿法应用举例                  
 7. 4. 3　简化牛顿法与牛顿下山法                  
 7. 4. 4　重根情形                  
 7. 5　弦截法与抛物线法                  
 7. 5. 1　弦截法                  
 7. 5. 2　抛物线法                  
 7. 6　解非线性方程组的牛顿迭代法                  
 评注                  
 习题                  
 第8章　矩阵特征值问题计算                  
 8. 1　引言                  
 8. 2　幂法及反幂法                  
 8. 2. 1　幂法                  
 8. 2. 2　加速方法                  
 8. 2. 3　反幂法                  
 8. 3　豪斯霍尔德方法                  
 8. 3. 1　引言                  
 8. 3. 2　用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯格阵                  
 8. 3. 3　用正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵                  
 8. 4　QR方法                  
 8. 4. 1　QR算法                  
 8. 4. 2　带原点位移的QR方法                  
 8. 4. 3　用单步QR方法计算上海森伯格阵特征值                  
 8. 4. 4　双步QR方法（隐式QR方法）                  
 评注                  
 习题                  
 第9章　常微分方程初值问题数值解法                  
 9. 1　引言                  
 9. 2　简单的数值方法与基本概念                  
 9. 2. 1　欧拉法与后退欧拉法                  
 9. 2. 2　梯形方法                  
 9. 2. 3　单步法的局部截断误差与阶                  
 9. 2. 4　改进的欧拉公式                  
 9. 3　龙格－库塔方法                  
 9. 3. 1　显式龙格－库塔法的一般形式                  
 9. 3. 2　二阶显式R－K方法                  
 9. 3. 3　三阶与四阶显式R－K方法                  
 9. 3. 4　变步长的龙格－库塔方法                  
 9. 4　单步法的收敛性与稳定性                  
 9. 4. 1　收敛性与相容性                  
 9. 4. 2　绝对稳定性与绝对稳定域                  
 9. 5　线性多步法                  
 9. 5. 1　线性多步法的一般公式                  
 9. 5. 2　阿当姆斯显式与隐式公式                  
 9. 5. 3　米尔尼方法与辛普森方法                  
 9. 5. 4　汉明方法                  
 9. 5. 5　预测－校正方法                  
 9. 5. 6　构造多步法公式的注记和例                  
 9. 6　方程组和高阶方程                  
 9. 6. 1　一阶方程组                  
 9. 6. 2　化高阶方程为一阶方程组                  
 9. 6. 3　刚性方程组                  
 评注                  
 习题                  
 计算实习题                  
 附录　并行算法及其基本概念                  
 参考文献                  
 部分习题答案