微积分

第一章 数
集合. 实数. 实数的小数表示. 实数的几何表示. 实数的运算. 不等式. 实数的绝对值. 指数和根. 对数. 实数系的公理化基础. 点集, 区间. 可数性. 邻域. 极限点. 界. 魏尔斯特拉斯—波尔察诺定理. 代数数和超越数. 复数系. 复数的极式. 数学归纳法.
第二章 函数, 极限与连续
函数. 函数的图像. 有界函数. 单调函数. 反函数, 主值. 最大值和最小值. 函数类型. 特殊的超越函数. 函数的极限. 右极限和左极限. 极限的定理. 无穷大, 特殊极限. 连续. 右连续和左连续. 区间上的连续性. 连续性定理. 分段连续. 一致连续.
第三章 序列
序列的定义. 序列的极限. 序列极限的定理. 无穷大. 有界序列, 单调序列. 序列的上确界和下确界. 上极限, 下极限. 区间套. 柯西收敛准则. 无穷级数.
第四章 导数
导数的定义. 右导数和左导数. 区间上的可导性. 分段可导性. 导数的几何意义. 微分. 求导法则. 特殊函数的导数. 高阶导数. 中值定理. 特殊展开式. 洛必达法则. 应用.
第五章 积分
定积分的定义. 零测度. 定积分的性质. 积分中值定理. 不定积分. 积分运算的基本定理. 变限定积分. 积分变量的变换. 特殊函数的积分. 积分法. 广义积分. 计算定积分的数值方法. 应用.
第六章 偏导数
二元及多元函数. 因变量和自变量, 函数的定义域. 空间直角坐标系. 邻域. 区域. 极限. 累次极限. 连续性. 一致连续性. 偏导数. 高阶偏导数. 微分. 有关微分的定理. 复合函数的求导法则. 齐次函数的欧拉定理. 隐函数. 雅可比式. 使用雅可比式的偏导数. 有关雅可比式的定理. 变换. 曲线坐标. 中值定理.
第七章 向量
向量与纯量. 向量代数. 向量代数定律. 单位向量. 基本单位向量. 向量的分量. 点积或纯量积. 叉积或向量积. 三重积. 向量分析的公理化方法. 向量函数. 向量函数的极限, 连续与导数. 向量导数的几何解释. 梯度, 散度和旋度. 有 关的公式. 雅可比式的向量解释, 正交曲线坐标. 正交曲线坐标中的梯度, 散度, 旋度和拉普拉斯算符. 特殊曲线坐标.
第八章 偏导数的应用
几何应用. 方向导数. 积分号下的微分法. 积分号下的积分法. 极大和极小. 求极大值和极小值的拉格朗日乘子法. 在误差中的应用.
第九章 重积分
二重积分. 累次积分. 三重积分. 重积分的变换.
第十章 曲线积分, 曲面积分和积分定理
曲线积分. 线积分的向量表示. 曲线积分的计算. 曲线积分性质. 简单闭曲线, 单连通和多连通区域. 平面格林定理. 曲线积分与路径无关的条件. 曲面积分. 散度定理. 斯托克斯定理.
第十一章 无穷级数
无穷级数的收敛与发散. 无穷级数的基本性质. 特殊级数. 几何级数. p级数. 常数项级数敛散性判别. 比较判别法. 商判别法. 积分判别法. 交错级数判别法. 绝对收敛与条件收敛. 比值判别法. n次根式判别法. 拉阿伯判别法. 高斯判别法. 绝对收敛级数定理. 无穷序列和函数项级数, 一致收敛. 级数一致收敛的特殊判别法. 魏尔斯特拉斯M判别法. 狄利克雷判别法. 级数一致收敛的定理. 幂级数. 关于幂级数的定理. 幂级数运算. 函数展开成幂级数. 一些重要的幂级数. 特殊课题. 用级数定义函数. 贝塞尔函数和超几何函数. 复数项无穷级数. 含两个或更多变量的函数项无穷级数. 二重级数. 无穷乘积. 可求和性. 渐近级数.
第十二章 广义积分
广义积分的定义. 第一类广义积分. 第一类特殊广义积分. 几何或指数积分. 第一类p积分. 第一类广义积分收敛判别法. 比较判别法. 商判别法. 级数判别法. 绝对收敛和条件收敛. 第二类广义积分. 柯西主值. 第二类特殊广义积分, 第二类广义积分收敛性判别. 第三类广义积分. 带参数的广义积分, 一致收敛. 积分一致收敛的特殊判别法. 魏尔斯特拉斯M判别法. 狄利克雷判别法. 积分一致收敛定理. 定积分计算. 拉普拉斯变换. 广义重积分.
第十三章
函数和B函数
函数. 函数的图形和数值表.
n 的渐近公式. 关于 函数的几个结果. B函数. 狄利克雷积分.
第十四章 傅里叶级数
周期函数. 傅里叶级数. 狄利克雷条件. 奇函数和偶函数. 半幅傅里叶正弦或余弦级数. 帕塞瓦尔等式. 傅里叶级数的微分和积分. 傅里叶级数的复数表达式. 边界值问题. 正交函数.
第十五章 傅里叶积分
傅里叶积分. 傅里叶积分定理的等价形式. 傅里叶变换. 傅里叶积分中的帕塞瓦尔等式. 卷积定理.
第十六章 椭圆积分
第一类不完全椭圆积分, 第二类不完全椭圆积分. 第三类不完全椭圆积分. 关于椭圆积分的雅可比形式. 可化为椭圆型的积分. 雅可比椭圆函数. Landen变换.
第十七章 复变函数
函数. 极限和连续性. 导数. 柯西—黎曼方程. 积分. 柯西定理. 柯西积分公式. 泰勒级数. 奇点. 极点. 洛朗级数. 留数. 留数定理. 定积分的计算.
补充习题答案