大学文科数学

序言
前言
第一篇必修课程
第一章微积分的基础问题--集合.实数.极限
§1极限.实数与集合在微积分中的作用
§2实数系的建立及邻域概念
2.1实数系的演变及性质
2.2刻画极限的邻域概念
§3变量无限变化的数学模型--极限
3.1从分形几何中Koch雪花的周长谈起--数列极限
3.2函数极限
3.3无穷小量
3.4极限的四则运算
数学家启示录(1)
(一)数学之神--阿基米德
(二)我国古代伟大数学家--祖冲之
习题一
第二章微积分的研究对象--函数.连续函数
§1微积分的主要研究对象--初等函数
1.1变量相依关系的数学模型--函数
1.2逆向思维一例--反函数
1.3基本初等函数
1.4复合函数
1.5初等函数的含义
§2MM能力培养--构建函数模型的步骤和方法
2.1构建函数模型的步骤和方法
2.2函数模型举例
§3变量连续变化的数学模型--连续函数
3.1连续函数的概念和连续函数求极限的法则
3.2初等函数的连续性
3.3闭区间上连续函数的性质
数学家启示录(2)
双目失明的数学家--欧拉
习题二
第三章变量变化速度与局部改变量估值问题--导数与微分
§1函数的局部变化率--导数
1.1抽象导数概念的两个现实原型
1.2导数概念
1.3求导过程的哲学分析
1.4左导数和右导数
1.5函数的连续性与可导性之间的关系
1.6高阶导数的概念
§2求导数的方法--法则与公式
2.1求导法则
2.2基本初等函数的求导公式
§3局部改变量的估值问题--微分及其运算
3.1微分
3.2微分公式和法则
3.3微分在近似计算中的应用
§4早期微积分的逻辑矛盾--牛顿的流数法和第二次数学危机
数学家启示录(3)
科学巨擘--牛顿
习题三
第四章导数的应用问题--洛必达法则.函数的性质和图像
§1联结局部与整体的纽带--中值定理
1.1费马定理
1.2中值定理(拉格朗日)
§2计算不定式极限的一般方法--洛必达法则
2.1两个基本类型不定式
2.2其他类型的不定式
§3用导数研究函数的性质--单调性.极值和最大最小值
3.1函数的单调性
3.2函数的极值
3.3函数的最大值和最小值
§4利用导数研究函数的图像--曲线的绘制
4.1曲线的弯曲方向--凹凸性
4.2利用导数绘制函数的图像
数学家启示录(4)
业余数学家之王--费马
习题四
第五章微分的逆运算问题--不定积分
§1逆向思维又一例--原函数与不定积分
1.1原函数与不定积分的概念
1.2基本积分公式
1.3不定积分的线性运算法则
§2矛盾转化法--换元积分法与分部积分法
2.1换元积分法
2.2分部积分法
数学家启示录(5)
符号大师--莱布尼茨
习题五
第六章求总量的问题--定积分
§1特殊和式的极限--定积分的概念
1.1抽象定积分概念的两个现实原型
1.2定积分的概念
1.3求定积分过程中的辩证思维
1.4可积条件
1.5定积分的性质
§2计算定积分的一般方法--微积分基本定理
2.1微积分基本定理
2.2定积分的换元积分法和分部积分法
§3定积分的拓展--非正常积分
§4定积分魅力的显示--在若干学科中的应用
4.1微元法
4.2在几何学中的应用
4.3在物理学中的应用--变力作功
数学家启示录(6)
微积分学在中国的最早传播人--李善兰
习题六
第七章偶然中蕴含必然的问题--概率统计初步
§1研究偶然现象的基本元素--随机事件
1.1随机现象及其描述
1.2事件的关系及运算
§2偶然中的必然--概率
2.1概率的定义
2.2条件概率
2.3全概率公式和贝叶斯公式
§3随机现象的函数化--随机变量
3.1随机变量的概念
3.2离散型随机变量
3.3连续型随机变量
§4随机现象整体特征的描述--期望值
4.1加权平均数
4.2期望值
§5随机现象离散程度的描述--方差
5.1方差和标准差
5.2方差的性质
§6由部分刻画整体的基础--统计
6.1总体和样本
6.2统计量和统计量的分布
§7由部分刻画整体的方法--统计推断
7.1参数估计
7.2假设检验
§8建立线性函数的买验方法--一元线性回归分析
8.1一元线性回归方程的建立
8.2回归方程的相关性检验
数学家启示录(7)
早期研究平均值的科学家--帕斯卡
习题七
第二篇限修课程
第八章处理线性关系的数学问题--线性代数概述
§1一种特殊数--行列式
1.1行列式的定义
1.2行列式的性质
§2线性方程组的解法
2.1克拉默法则
2.2消元法
§3应用广泛的数表--矩阵
3.1矩阵的概念
3.2矩阵的运算
3.3矩阵的应用
数学家启示录(8)
数学王子--高斯
习题八
第九章含变化率的方程问题--微分方程浅说
§1微分方程初识--一般概念
1.1例子
1.2一般概念
1.3微分方程及其解的几何解释
§2特殊类型微分方程的解法--初等积分法
2.1分离变量法
2.2可化为变量分离方程的方程
2.3一阶线性微分方程
§3几个有趣的实例--若干应用模型
3.1单种群模型与人口问题
3.2遗体死亡年代测定问题
3.3刑事侦察中死亡时间的鉴定问题
3.4学习过程模型
数学家启示录(9)
数学领域里的一座高耸的金字塔--拉格朗日
习题九
第十章一元微积分的推广--多元微积分概要
§1二元函数微积分的预备知识
1.1解析几何的思想方法
1.2空间直角坐标系
1.3空间曲面与代数方程
§2二元函数的极限与连续性
2.1二元函数的概念
2.2二元函数的极限
2.3二元函数的连续性
§3偏导数与全微分
3.1偏导数及其计算
3.2全微分
§4复合函数微分法
§5二元函数的极值
§6二重积分的概念与计算
6.1二重积分的概念与性质
6.2二重积分的计算
数学家启示录(10)
追求新几何的数学家--笛卡儿
习题十
第三篇选修课程
第十一章一类管理决策问题--线性规划略谈
§1一类优化问题的数学抽象--线性规划模型
1.1线性规划模型的构建
1.2线性规划模型的标准形式
§2线性规划的一般解法--单纯形法
2.1两个变量线性规划的图解法
2.2线性规划问题的代数解法--单纯形法
数学家启示录(11)
自学成才的数学大师--华罗庚
习题十一
第十二章数学的普遍性问题--数学方法论简介
§1数学的对象.动力及作用--数学观
1.1何为数学
1.2数学发展的动力
1.3数学对人类文化的作用
§2数学的特征--数学的科学性和艺术性
2.1数学的科学性
2.2数学的艺术性
2.3数学美及其特征
§3现实原型量化的基本方法--数学模型方法
3.1数学模型方法的含义及分类
3.2数学模型的构造过程和步骤
§4构建理论体系的基本方法--公理化方法
4.1公理化方法及其基本内容
4.2公理化方法的作用
§5程序化的矛盾转化法--关系映射反演方法
5.1何谓关系映射反演方法
5.2RMI方法的拓广及应用
§6数学推理的两种形式--合情推理与论证推理
6.1合情推理及其模式
6.2论证推理
数学家启示录(12)
近代数学巨匠--希尔伯特
附录一习题答案与提示
附录二三个数表
(一)标准正态分布函数值表
(二)X2分布临界值表
(三)相关系数临界值表
参考文献