线性代数辅导（第二版）

第1章行列式1
11n阶行列式的定义1
1.1.1内容提要1
1n阶行列式的“逆归”定义1
2n阶行列式的“逆序”定义1
1.1.2例题分析2
12n阶行列式的性质和计算13
1.2.1内容提要13
1行列式的性质13
2行列式的拉普拉斯展开14
1.2.2例题分析16
1低阶行列式的计算16
2n阶行列式的计算39
13克拉默法则58
1.3.1内容提要58
1.3.2例题分析58
14习题答案与提示64
1.4.1习题64
1.4.2答案与提示75
第2章矩阵80
21矩阵及其运算80
2.1.1内容提要80
1矩阵的定义80
2矩阵的线性运算80
3矩阵的乘法运算81
4转置矩阵83
2.1.2例题分析84
1基本概念及运算84
2方阵的幂89
3矩阵乘法的可交换性98
4对称矩阵和反对称矩阵103
5上(下)三角矩阵105
6正交矩阵106
7矩阵的迹107
22矩阵的逆108
2.2.1内容提要108
1逆矩阵的定义108
2逆矩阵的性质109
3矩阵求逆的方法109
4证明矩阵可逆的方法110
5矩阵的初等变换及初等矩阵110
2.2.2例题分析112
1证明A可逆，并求A-1的方法112
2伴随矩阵124
3矩阵方程126
4初等变换和初等矩阵129
23分块矩阵134
2.3.1内容提要134
1分块矩阵134
2分块矩阵的加法运算135
3分块矩阵的数乘运算135
4分块矩阵的乘法135
5分块矩阵的转置137
6分块矩阵求逆矩阵137
7分块初等矩阵和分块矩阵的
初等变换138
2.3.2例题分析139
1分块矩阵的运算139
2分块矩阵的行列式143
3分块矩阵的其他应用146
24习题答案与提示150
2.4.1习题150
2.4.2答案与提示162
第3章线性方程组和n维向量176
31高斯消元法176
3.1.1内容提要176
3.1.2例题分析177
32n维向量线性相关性186
3.2.1内容提要186
1n维向量186
2线性相关性187
3向量组的极大无关组和秩188
4两个向量组S1,S2等价188
3.2.2例题分析188
1线性相关性的判别188
2线性表出196
3线性相关性的证明203
4向量组的秩极大无关组
等价向量组212
33矩阵的秩219
3.3.1内容提要219
3.3.2例题分析220
1有关秩的公式的证明220
2有关秩的证明题224
3分块矩阵的秩229
34线性方程组解的结构230
3.4.1内容提要230
1齐次线性方程组230
2线性非齐次方程组231
3.4.2例题分析232
1基本运算232
2线性齐次方程组的基础解系和通解243
3线性非齐次方程组的有解条件245
4线性非齐次方程组解的性质
和解的结构248
5线性齐次方程组中行向量和解向量的关系由基础解系反求线性方程组250
6线性方程组的列向量和解向量的关系252
7线性方程组和矩阵方程254
8两个线性方程组的公共解256
9同解线性方程组258
10综合题261
35习题答案与提示264
3.5.1习题264
3.5.2答案与提示276
第4章n维向量空间282
41基和坐标基变换坐标变换282
4.1.1内容提要282
4.1.2例题分析283
42向量的内积291
4.2.1内容提要291
4.2.2例题分析292
43标准正交基正交矩阵296
4.3.1内容提要296
4.3.2例题分析297
44习题答案与提示311
4.4.1习题311
4.4.2答案与提示316
第5章矩阵的特征值和特征向量320
51矩阵的特征值和特征向量320
5.1.1内容提要320
1矩阵的特征值和特征向量320
2特征值和特征向量的求法320
3特征值的性质320
4相似矩阵321
5.1.2例题分析321
1特征值和特征向量的基本计算321
2关于特征值324
3关于特征向量331
52矩阵可对角化的条件336
5.2.1内容提要336
5.2.2例题分析336
1矩阵可对角化的条件336
2利用矩阵可对角化确定参数342
3利用特征值和特征向量反求矩阵345
53实对称矩阵的相似对角化347
5.3.1内容提要347
5.3.2例题分析347
54矩阵相似对角化的应用综合杂例355
5.4.1矩阵对角化的应用355
5.4.2综合题360
55习题答案与提示372
5.5.1习题372
5.5.2答案与提示378
第6章二次型（考研数学二、四不要求）391
61二次型的矩阵表示合同矩阵391
6.1.1内容提要391
1二次型及其矩阵表示391
2合同矩阵的定义392
6.1.2例题分析392
62化二次型为标准形规范形395
6.2.1内容提要395
1二次型的标准形、规范形395
2二次型化标准形、规范形的方法396
3惯性定理396
6.2.2例题分析397
63二次型的正定性及其判别法419
6.3.1内容提要419
1二次型的正定性419
2二次型的负定420
3其他有定二次型420
6.3.2例题分析421
64习题答案与提示440
6.4.1习题440
6.4.2答案与提示447
第7章线性空间、线性变换、欧氏空间(考研不要求)455
71线性空间455
7.1.1内容提要455
1线性空间定义455
2线性空间的基本关系456
3线性相关性及维数456
7.1.2例题分析456
72线性子空间464
7.2.1内容提要464
7.2.2例题分析465
73线性变换475
7.3.1内容提要475
1线性变换的定义及基本性质475
2线性变换在一组基下对应的矩阵475
3线性变换的运算476
4线性变换的特征值和特征向量476
5线性变换的值域和核476
7.3.2例题分析477
74欧氏空间489
7.4.1内容提要489
1内积489
2欧氏空间490
3度量矩阵490
4不同基下的度量矩阵是合同的490
5标准正交基491
6正交子空间、正交补491
7正交变换492
7.4.2例题分析492
75习题答案与提示504
7.5.1习题504
7.5.2答案与提示518