现代数值计算方法

第一章 数值计算中的误差分析
1 数值计算的对象. 任务与特点
2 误差与数值计算的误差估计
一. 误差的来源与分类
二. 误差与有效数字
三. 数值计算的误差估计
3 选用和设计算法时应遵循的原则
一. 选用数值稳定的计算公式, 控制舍入误差的传播
二. 尽量简化计算步骤以便减少运算次数
三. 尽量避免两个相近的数相减
四. 绝对值太小的数不宜作除数
五. 合理安排运算顺序, 防止大数吃掉小数
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题一
第二章 线性方程组的数值解法
1 线性方程组的直接解法
一. 高斯 Gauss 列主元消去法
二. 高斯全主元消去法
三. 选主元素消去法的应用
四. 矩阵的三角分解
五. 千方根法及改进的平方根法
六. 追赶法
七. 列主元三角分解法
2 线性方程组的迭代解法
一. 雅可比 Jacobi 迭代法
二. 高斯-塞德尔 Gauss-Seidel 迭代法
三. 逐次超松弛 SOR 迭代法
3 迭代法的收敛性
一. 向量范数与矩阵范数
二. 迭代法的收敛性
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题二
第三章 非线性方程的数值解法
1 根的搜索与二分法
一. 根的搜索
二. 二分法
2 迭代法及其迭代收敛的加速方法
一. 迭代法
二. 迭代收敛的加速方法
3 牛顿 Newton 迭代法
一. 牛顿迭代法
二. 迭代法的收敛阶
4 弦截法
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题三
第四章 矩阵的特征值及特征向量的计算
1 幂法与反幂法
一. 幂法
二. 反幂法
2 雅可比方法
一. 古典雅可比方法
二. 雅可比过关法
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题四
第五章 插值法
1 拉格朗日 Lagrange 插值
一. 代数插值问题
二. 插值多项式的存在与惟一性
三. 线性插值
四. 抛物线插值
五. 拉格朗日插值多项式
2 分段低次插值
一. 分段线性插值
二. 分段抛物线插值
3 差商与牛顿插值多项式
一. 差商的定义及性质
二. 牛顿插值多项式及其余项
4 差分与等距节点插值公式
一. 差分的定义及性质
二. 等距节点插值多项式及其余项
5 埃尔米特 Hermite 插值
一. 一般情形的埃尔米特插值问题
二. 特殊情形的埃尔米特插值问题
6 三次样条插值
一. 三次样条插值函数的定义
二. 三次样条插值函数的构造
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题五
第六章 最小二乘法与曲线拟合
1 用最小二乘法求解矛盾方程组
一. 最小二乘原理
二. 用最小二乘法求解矛盾方程组
2 用多项式作最小二乘曲线拟合
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题六
第七章 数值微积分
l 牛顿-柯特斯 Newton-Cotes 公式
一. 数值求积的基本思想
二. 插值型求积公式
三. 牛顿-柯特斯公式
2 龙贝格 Romberg 求积公式
一. 复化求积公式
二. 变步长求积公式
三. 龙贝格求积公式
3 高斯型求积公式
一. 代数精确度
二. 高斯型求积公式
三. 勒让德 Legendre 多项式
4 数值微分
一. 差商型求导公式
二. 插值型求导公式
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题七
第八章 常微分方程的数值解法
1 欧拉 Euler 方法
一. 欧拉公式
二. 欧拉预估-校正方法
三. 欧拉方法的误差估计
2 龙格-库塔 Runge-Kutta 方法
一. 龙格-库塔方法的基本思想
二. 二阶龙格-库塔公式
三. 高阶龙格-库塔公式
3 线性多步方法
一. 线性多步方法的基本思想
二. 阿达姆斯 Adams 外插公式及其误差
三. 阿达姆斯内插公式
4 一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解法
一. 一阶微分方程组的数值解法
二. 高阶微分方程的数值解法
本章小结
算法与程序设计实例
思考题
习题八
习题答案与提示
参考书目