数值分析引论

第一章数值计算引论
1数值分析研究对象
2误差来源及种类
3误差的基本概念
3.1绝对误差和相对误差
3.2有效数字
4求函数值的误差估计
5在数值计算中应注意的几个问题
习题1
第二章插值法
1引言
2拉格朗日插值多项式
2.1插值基函数
2.2拉格朗日(Lagrange)插值多项式
2.3插值多项式的余项
2.4算法与例子
3逐步线性插值法
3.1列维尔算法
3.2算法与例子
4差商与牛顿插值多项式
4.1差商(均差)及性质
4.2牛顿插值多项式
4.3算法与例子
5差分,等距节点插值多项式
5.1差分及性质
5.2牛顿向前插值,向后插值公式
6埃尔米特插值
7分段插值法
7.1高次插值的龙格(Runge)现象
7.2分段线性插值
7.3分段三次埃尔米特插值
8三次样条插值
8.1引言
8.2三次样条插值函数的表达式
8.3三弯矩方程
8.4算法与例子
8.5三次样条插值函数的收敛性
9*B样条函数及性质
9.1半截幂函数
9.2样条函数
9.3B样条函数及性质
习题2
第三章函数与数据的逼近
1引言
2连续函数空间,正交多项式理论
2.1连续函数空间
2.2正交多项式理论
3最佳平方逼近
3.1法方程
3.2用多项式作最佳千方逼近
3.3用正交多项式作最佳平方逼近
4最小二乘逼近
4.1一般的最小二乘逼近
4.2算法与例子
4.3用正交多项式作曲线拟合算法
4.4非线性模型举例
5*用6样条作最小二乘逼近
6*近似最佳一致逼近多项式
6.1函数展开为Chebyshev级数
6.2拉格朗口插值余项的极小化
6.3泰勒级数的缩减
习题3
第四章数值积分与数值微分
1插值型数值求积公式
1.1一般求积公式及其代数精度
1.2插值型求积公式
1.3Newton-Cotes求积公式
1.4Newton-Cotes求积公式的余项
1.5Newton-Cotes公式的数值稳定性和收敛性
2Gauss型求积公式
2.1最高代数精度求积公式
2,2Gauss点与正交多项式的联系
2.3Gauss求积公式的余项
2.4Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性
2.5几个常用的Gauss型求积公式
2.6*低阶Gauss型求积公式构造方法
3复化数值求积公式
3.1复化数值求积法
3.2复化梯形公式
3.3复化Simpson公式
3.4复化求积公式的收敛阶
4外推方法
4.1外推原理
4.2复化梯形公式余项的渐近展开
4.3Romberg算法
4.4*外推法的进一步讨论
5自适应求积方法
5.1自适应计算问题
5.2自适应算法
6*奇异积分和振荡函数积分的数值方法
6.1奇异积分计算
6.2振荡函数积分的计算
7*二元函数数值积分
7.1矩形域上乘积型求积公式
7.2三角形域上面积坐标积分法
8数值微分
8.1插值函数法
8.2差分算子近似微分算子法
8.3*隐式方法
习题4
第五章解线性方程组的直接法
1引言
2初等矩阵
2.1初等下三角阵(高斯变换)
2.2初等置换阵
2.3初等反射阵(Householder变换)
2.4平面旋转矩阵(Givens变换)
3高斯消去法
4高斯选主元素消去法
4.1完全主元素消去法
4.2列主元素消去法
4.3列主元高斯-约当消去法
5用直接三角分解法解线性方程组
5.1矩阵的三角分解
5.2不选主元三角分解法
5.3部分选主元三角分解法
6解对称正定矩阵线性方程组的平方根法
6.1对称正定矩阵及性质
6.2平方根法
6.3改进的平方根法
7解三对角线方程组的追赶法
8*用直接法解大型带状方程组
8.1用分解法解大型等带宽方程组
8.2用改进平方根法解大型变带宽对称正定方程组
9向量,矩阵范数,矩阵的条件数
9.1向量,矩阵范数
9.2矩阵的条件数,病态方程组
9.3*关于病态方程组解法
10矩阵的正交分解(QR分解)
习题5
第六章解大型稀疏线性方程组的迭代法
1引言.例子
2基本迭代法
2.1雅可比(Jacobi)迭代法
2.2高斯-塞德尔迭代法(G-S)
2.3解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法(SOR)
3迭代法的收敛性
3.1一阶定常迭代法的基本定理
3.2关于解特殊线性方程组迭代法的收敛性
3.3*迭代法收敛速度
3.4分块迭代法
4*梯度法
4.1等价性定理
4.2最速下降法
4.3共轭梯度法(CG)
习题6
第七章非线性方程(组)数值解法
1基础知识
1.1非线性方程,非线性方程组
1.2非线性方程(组)求解的特点
1.3*映射的Jacobi阵和F导数
1.4收敛性和收敛阶
2非线性方程的二分法和插值法
2.1二分法
2.2正割法
2.3抛物线法
2.4*反插值法
3解x＝g(x)的简单迭代法
3.1简单迭代法公式
3.2收敛定理
4迭代的加速法
4.1Aitken加速方法
4.2Steffenson迭代方法
5解f(x)＝0的Newton迭代法
5.1Newton迭代公式
5.2Newton法收敛定理
5.3Newton下[山法
5.4Newton迭代算法
6*解方程组x＝G(x)的简单迭代法
6.1简单迭代法
6.2简单迭代的收敛性
7解方程组F(x)＝0的Newton法
7.1Newton法迭代公式
7.2收敛定理
7.3Newton下山法
7.4*m步Newton法
7.5算法
8*quasi-Newton法
8.1Broyden方法和一般quast-Newton法
8.2几个秩2quasi-Newton法
习题7
第八章常微分方程数值解法
1基本概念
1.1常微分方程初值问题的一般解法
1.2初值问题数值解基本概念
2Euler方法
2.1显式Euler方法
2.2隐式Euler方法和梯形方法
2.3预估-校正Euler方法
2.4单步法的局部截断误差.整体截断误差
3Taylor方法和Runge-Kutta方法
3.1Taylor方法
3.2Runge-Kutta方法的一般形式
3.3常用低阶Runge-Kutta方法
3.4其它Runge-Kutta方法
4单步法的进一步讨论
4.1收敛性与相容性
4.2稳定性
4.3均匀步长重复Richardson外推法
4.4变步长自动选择
5Adams方法和一般线性多步法
5.1Adams方法
5.2一般线性多步法
6线性多步法的收敛性与稳定性
6.1*常系数线性差分方程
6.2线性多步法的方法稳定性
6.3*数值稳定性
7一阶方程组初值问题数值方法
7.1数值方法推广到方程组
7.2*刚性方程组
8*二阶常微分方程边值问题数值方法
8.1打靶法
8.2有限差分法
习题8
第九章矩阵特征值与特征向量计算方法
1引言
2幂法及反幂法
2.1幂法
2.2加速方法
2.3反幂法(或逆迭代)
3豪斯荷尔德方法
3.1正交相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg阵
3.2正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵
4QR算法
4.1引言
4.2QR算法及收敛性
4.3带原点位移的QR方法
4.4用单步QR方法计算上Hessenberg阵特征值
4.5*稳式对称QR方法
5*计算对称矩阵特征值的Jacobi方法
5.1引言
5.2古典Jacobi方法
5.3Jacobi过关法
习题9
参考文献