微积分简明教程

前言
第一章实数及其上的映射
§1无理数与微积分危机
1.自然数与有理数
2.无理数和微积分的危机
§2一维连续统--实数
1.数的连续性
2.实数集的界与确界
3.连通实数集合的规范表示
§3实数集上的映射
1.映射
2.单元函数--实数到实数的映射
3.用四则运算和映射积构造新函数
4.反函数
5.函数的图象
6.基元函数和初等函数
7.隐式方程.参数和极坐标表示的函数
练习题1
第二章极限
§1离散变量的极限
1.以正整数为定义域的函数--序列
2.无穷小量
3.序列的极限
4.无穷大量
5.夹逼收敛
6.单调有界序列的收敛性
7.超越数e
8.n!与Euler常数C
9.重要序列极限例举
10.无穷小与无穷大的比较与级
11.子序列与上.下极限
练习题2,1
§2连续变量的极限
1.实数上的函数极限
*2.连续变量极限的离散描述
3.函数极限的运算法则和收敛判定准则
4.几类基本的函数极限
练习题2.2
§3函数的连续与间断
1.函数的连续与间断
2.初等函数的连续性
3.闭区间上的连续函数
练习题2.3
第三章微分法
§1变化率及其计算
1.导数
2.初等函数的求导法
3.由参变量或由二元方程表示的隐函数的求导
4.高阶导数
5.微分--函数局部平直化
练习题3.1
§2微分学基本定理及应用
1.微分学基本定理
2.不定型极限
3.函数的多项式局部拟合--泰勒公式
4.函数的几何形态分析
(A)曲线的极值与升降
(B)曲线的拐点与凹凸
(C)曲线的渐近性态
(D)曲线弯曲度的定量描述--曲率
练习题3.2
第四章积分法
§1积分的定义和性质
1.非匀变过程和非规则形体的计算
2.定积分的定义和性质
*§2函数的可积性
1.可积性基本定理
2.函数的可积性
练习题4.1
§3牛顿一莱布尼茨公式
§4原函数的寻求
1.不定积分的基本公式与运算法则
2.换元积分法
3.分部积分法
4.有理函数的积分法
*5.若干类无理函数的积分法
练习题4.2
§5定积分的计算与应用
1.定积分的换元与分部积分公式
2.积分微元
3.面积.弧长.体积
4.质心.转动惯量和功
练习题4.3
§6数值积分
1.矩形公式和梯形公式
2.辛普森(Simpson,T.)公式
*3.龙贝格(Romberg,W.)外推公式
*§7广义积分
1.无穷积分
2.瑕积分
练习题4.4
第五章动力机制的数学模型--微分方程
§1物理过程的定量描述
1.质点的弹性振动
2.RLC交变电路
3.冷却与衰变
4.人口增长
5.溶液淡化
6.二体运动(行星绕日运动)
练习题5.1
§2微分方程的基本概念