高等几何

第一章变换群与几何学
§1变换与变换群
1.1映射与变换
1.2映射的乘积与逆
1.3变换的不动元素与不动子集
1.4变换群
习题
§2仿射坐标和仿射平面
2.1仿射坐标和仿射坐标变换
2.2在仿射平面上的几个常用结论
2.3仿射平面A的定义
习题
§3仿射变换
3.1透视仿射变换
3.2仿射变换的定义与基本性质
3.3仿射变换的表达式和例子
3.4关于仿射变换的几个重要定理
习题
§4欧氏平面和保距变换
4.1欧氏平面正E2的定义
4.2保距变换的定义和表达式
4.3保距变换的直观实现
4.4保距变换的性质
习题
§5几何学与变换群的关系
5.1欧氏几何与欧氏群
5.2克莱因观点介绍
5.3仿射群与仿射几何
习题
第二章射影平面
§1扩大仿射平面
1.1中心射影的直观讨论
1.2点的齐次仿射坐标
1.3直线的齐次仿射坐标方程
习题
§2射影平面
2.1射影平面和它的性质
2.2射影平面P2的定义和它的模型
2.3射影坐标和射影坐标变换
2.4直线与点列一维射影坐标
2.5德萨格定理
习题
§3交比与调和共轭
3.1在扩大欧氏平面上的直观讨论
3.2交比的定义和计算
3.3交比与射影坐标的关系
3.4交比的分组
3.5调和共轭
3.6完全四点形的调和性质
习题
§4对偶原理
4.1点坐标与线坐标
4.2对偶原理
4.3几种重要的对偶图形和命题
习题
第三章射影变换
§1一维射影变换
1.1透视对应
1.2一维基本形之间的射影对应
1.3射影对应与透视的关系
1.4一维射影变换
1.5对合
习题
§2直射变换
2.1直射变换的定义和表达式
2.2射影群和基本射影性质
2.3关于直射的基本定理
2.4直射变换的不动元素
2.5同调与直移
习题
§3对射变换与配极
3.1对射变换
3.2配极变换
3.3共轭元素与配极原则
3.4配极的分类与自极三点形
3.5配极诱导的对合
习题
第四章二次曲线的射影理论
§1配极变换与二次曲线
1.1二阶曲线与二级曲线
1.2极点与极线二次曲线
1.3二次曲线方程的简化形式
习题
§2一维射影对应与二次曲线
2.1二次曲线的射影定义
2.2帕斯卡定理与布利安香定理
习题
63二次曲线上的射影变换
3.1二阶曲线上的射影变换
3.2二阶曲线上的对合
习题
§4二次曲线的射影分类
4.1退化二阶曲线和奇异点
4.2二次曲线的射影分类
习题
第五章射影几何的子几何
§1无穷远直线与仿射几何
1.1扩大仿射平面和仿射变换
1.2仿射性质
1.3二次曲线的仿射理论
习题
§2圆环点与欧氏几何
2.1虚元素复射影平面
2.2绝对对合与直角坐标
2.3保距变换与欧氏度量
2.4二次曲线的度量性质
习题
§3实二次曲线与双曲几何
3.1自同构群与射影测度
3.2第五公设与罗巴切夫斯基几何的产生
3.3实二次曲线与双曲运动群
3.4双曲度量
3.5罗巴切夫斯基几何的克莱因模型
习题
§4射影几何的其他子几何
4.1虚二次曲线和椭圆几何
4.2伽利略几何简介
4.3闵科夫斯基几何简介
习题
第六章几何基础介绍
§1公理法简介
1.1公理法的产生
1.2公理法的结构
1.3公理系统的和谐性.独立性和完备性
§2欧氏平面几何的公理系统
2.1绝对几何
2.2欧氏几何与非欧几何
习题
§3平面射影几何的公理系统
3.1平面射影几何的一个公理系统
3.2平面射影几何公理系统的算术模型
习题
§4有限几何介绍
4.1有限域GF(q)与有限射影平面PG(2,q)
4.2有限射影平面PG(2,2)介绍
4.3有限仿射平面AG(2,2)介绍
§5射影几何的历史概述
5.1射影几何的萌芽时期
5.2射影几何创立初期
5.3射影几何的形成和繁荣时期
5.4射影几何在中国
第七章高等几何与中学几何
§1高等几何对中学几何的一般指导意义
1.1几何学的对象和分类
1.2对坐标系的认识
1.3关于直线形
1.4关于二次曲线理论
1.5综合法与解析法
讨论题
§2中学几何命题的发现
2.1从已知射影命题设计出初等命题
2.2变换已知命题,得出新命题
习题
§3用高等几何方法证明中学几何题
3.1仿射变换的应用
3.2射影变换的应用
3.3关于点线结合命题的证明
习题
§4直尺作图
4.1利用完全四点形的调和性质作图
4.2有关不可到达的点和直线的作图
4.3有关二次曲线的作图
习题
参考书目