第一章 度量空间 1
1.1 集合与映射 1
1.1.1 集合的概念 1
1.1.2 集合的表示和举例 2
1.1.3 集合的简单运算 3
1.1.4 映射 4
1.1.5 可数集. 不可数集和集合的基数 6
1.2 线性空间 7
1.2.1 线性空间 7
1.2.2 常见的线性空间 8
1.2.3 线性子空间 10
1.2.4 线性空间的维数 10
1.3 度量空间 12
1.3.1 度量空间 12
1.3.2 常见的几种度量线性空间 13
1.3.3 几个重要的不等式 15
1.4 勒贝格(Lebesgue)积分和Lp空间 19
1.4.1 测度, 可测集 19
1.4.2 可测函数 22
1.4.3 勒贝格积分 24
1.4.4 Lp(E)函数空间 26
1.5 度量空间的拓扑性质 28
1.5.1 点集的邻域 29
1.5.2 开集和闭集 30
1.5.3 连续映射 32
1.6 度量空间的可分性. 完备性和紧性 33
1.6.1 度量空间的可分性 33
1.6.2 序列的收敛和极限 34
1.6.3 度量空间的完备性 37
1.6.4 常见的完备度量空间 38
1.6.5 度量空间的完备化 41
1.6.6 度量空间的紧性和列紧性 42
习题 43
参考书目 46
第二章 赋范空间和内积空间48
2.1 赋范线性空间 49
2.1.1 赋范线性空间. 巴拿赫空间 49
2.1.2 常见的赋范线性空间 50
2.1.3 赋范空间中的序列和级数的收敛 51
2.1.4 赋范空间中的无穷级数 53
2.1.5 有限维赋范空间和子空间 54
2.1.6 赋范空间的同构性 57
2.2 内积空间和希尔伯特空间 58
2.2.1 内积空间和希尔伯特空间 58
2.2.2 常见的内积空间 62
2.3 内积空间中的正交和投影 64
2.3.1 正交性 65
2.3.2 正交投影 66
2.4 内积空间的标准正交基 70
2.4.1 标准正交集 70
2.4.2 内积空间的标准正交系 74
2.4.3 内积空间的标准正交基 77
2.4.4 常用标准正交基举例 81
2.5 在逼近论中的应用 85
2.5.1 赋范空间中的逼近 85
2.5.2 希尔伯特空间中的逼近 90
习题 93
参考书目 96
第三章 线性算子和线性泛函 97
3.1 线性算子 97
3.1.1 线性算子 97
3.1.2 有限维线性空间的线性算子与矩阵表示 100
3.1.3 逆算子 102
3.2 有界线性算子 104
3.2.1 有界线性算子 104
3.2.2 线性算子的连续性 106
3.2.3 线性算子空间 108
3.2.4 下有界算子与逆算子 112
3.3 有界线性泛函和对偶空间 113
3.3.1 有界线性泛函 113
3.3.2 对偶空间 115
3.3.3 希尔伯特空间上泛函的一般形式 119
3.3.4 双线性泛函和二次泛函 123
3.4 希尔伯特伴随算子 126
3.4.1 一个伴随算子的特例 126
3.4.2 希尔伯特伴随算子 127
3.4.3 希尔伯特伴随算子的重要性质 130
3.5 希尔伯特空间的自伴算子. 酋算子和正规算子 131
3.5.1 自伴算子 131
3.5.2 酋算子和正规算子 135
3.5.3 正算子 136
3.6 投影算子 138
3.6.1 投影算子 138
3.6.2 投影算子的代数运算 140
3.7 希尔伯特空间中的无界线性算子 144
3.7.1 无界线性算子的概念 145
3.7.2 无界线性算子的伴随算子 146
3.7.3 对称算子和自伴算子 148
习题 150
参考书目 154
第四章 泛函的极值问题 155
4.1 泛函极值问题的提法 155
4.1.1 泛函极值问题的由来和意义 155
4.1.2 经典变分法中两个著名的极值问题 156
4.1.3 泛函极值问题的提法 158
4.2 泛函的微分(变分) 159
4.2.1 函数的微分 159
4.2.2 经典变分法中变分的概念 161
4.2.3 算子的加脱微分 163
4.2.4 算子的弗雷谢微分 165
4.3 泛函的无约束极值 168
4.3.1 泛函极值及其必要条件 168
4.3.2 欧拉-拉格朗日方程 169
4.3.3 捷线问题的解 172
4.3.4 自由边界和自然边界条件 174
4.4 泛函的约束极值问题 175
4.4.1 有限维约束问题 175
4.4.2 无穷维约束问题 180
4.4.3 约束极值问题举例 185
4.5 求泛函极值的下降法 188
4.5.1 下降法的一般原理 188
4.5.2 最速下降法 189
4.5.3 共轭方向法 193
4.5.4 共轭梯度法 197
习题 201
参考书目 203
第五章 线性算子方程 204
5.1 压缩映射与不动点原理 204
5.1.1 线性算子方程 204
5.1.2 不动点 206
5.1.3 压缩映射原理 207
5.2 线性算子的谱 212
5.2.1 特征值概念的回顾 213
5.2.2 线性算子谱的概念 216
5.2.3 有界线性算子谱的某些性质 217
5.2.4 希尔伯特自伴算子谱的性质 220
5.2.5 无界自伴算子谱的性质 224
5.3 微分算子方程 227
5.3.1 自伴二阶线性常微分算子 227
5.3.2 二阶线性偏微分算子 230
5.3.3 常见二阶自伴线性微分算子方程 231
5.4 积分算子方程 234
5.4.1 积分方程的来源和分类 234
5.4.2 积分方程的逐次逼近解法 239
5.4.3 弗雷德霍姆定理 244
5.4.4 全连续(紧)积分算子 249
5.5 算子方程的变分原理 252
5.5.1 自伴算子的确定性方程 252
5.5.2 非自伴算子的确定性方程 256
5.5.3 特征值问题 258
5.6 变分方程的瑞利-里兹(Rayleigh-Ritz)解法 259
5.6.1 自伴问题的瑞利-里兹法 260
5.6.2 瑞利-里兹法求解二阶自伴常微分方程边值问题 262
5.6.3 非自伴问题的瑞利-里兹法 264
5.7 基于变分原理的有限元法 265
5.7.1 问题的提法和出发点 266
5.7.2 区域的剖分 267
5.7.3 插值函数的构造 267
5.7.4 单元刚度分析 269
5.7.5 有限元方程 271
5.8 加权余量法 273
5.8.1 加权余量法的基本公式 273
5.8.2 矩量法--内域积分形式的加权余量法 274
5.8.3 基于加权余量法的有限元法和边界元法 278
习题 284
参考书目 286
第六章 广义函数 288
6.1 引入广义函数的必要性 288
6.1.1 古典函数的局限性 288
6.1.2 微分方程古典解的局限性 290
6.1.3 广义函数概念大意 293
6.2 基本空间和广义函数 295
6.2.1 C(Ω)和Cm(Ω)上的极限及其完备性 295
6.2.2 基本函数空间C∞(Ω)和C∞0(Ω) 298
6.2.3 广义函数和广义函数空间 300
6.2.4 广义函数的支集 303
6.3 广义函数的基本运算 304
6.3.1 广义函数的导数 305
6.3.2 广义函数的极限 312
6.3.3 广义函数的乘法运算 315
6.3.4 广义函数的卷积 318
6.4 广义函数的傅里叶(Fourier)变换 321
6.4.1 普通函数傅里叶变换回顾 321
6.4.2 速降函数和缓增广义函数 325
6.4.3 缓增广义函数的傅里叶变换 331
6.5 偏微分方程的广义解 335
6.5.1 偏微分方程的广义解 336
6.5.2 线性偏微分方程弱解存在的条件 338
6.5.3 偏微分方程的基本解 340
6.6 索伯列夫(Sobolev)空间 347
6.6.1 空间Wm,p(Ω) 347
6.6.2 Hm(Ω)空间 349
6.6.3 嵌入定理 351
6.6.4 二阶椭圆型方程狄里赫雷问题在H10(Ω)中的可解性 352
习题 356
参考书目 357
第七章 小波分析 358
7.1 窗口傅里叶变换 358
7.1.1 傅里叶变换的局限性 358
7.1.2 窗口傅里叶变换 360
7.1.3 窗口傅里叶变换的时域-频域局域性 362
7.2 连续小波变换 365
7.2.1 连续小波变换 365
7.2.2 小波变换的时-频局域性 370
7.2.3 连续小波变换的基本性质 372
7.3 离散小波变换 375
7.3.1 离散小波变换 375
7.3.2 二进制离散小波变换 376
7.3.3 Haar小波基和Shannon小波基 378
7.4 多分辨分析和小波正交基 382
7.4.1 正交多分辨分析 382
7.4.2 小波子空间 383
7.4.3 L2(R)的正交小波基的构造 385
7.4.4 利用MRA构造Haar和Shannon小波基 391
7.5 紧支集正交小波基 394
7.5.1 有限长双尺度方程及其求解 394
7.5.2 有限长双尺度方程存在解的条件 397
7.5.3 紧支集正交小波基的构造 403
7.6 小波框架 405
7.6.1 框架概念 406
7.6.2 希尔伯特空间的框架理论 408
7.6.3 小波框架 412
7.7 小波分解与重构算法 415
7.7.1 函数的多尺度分解 415
7.7.2 分解算法与重构算法 418
7.8 小波与取样定理 483
7.8.1 Shannon取样定理 423
7.8.2 小波取样定理 425
7.9 二维正交小波基 429
7.10 小波与算子方程计算 433
7.10.1 函数按Haar基展开的算法 434
7.10.2 二维小波基展开和积分算子的近似对角化 438
参考书目 441
鄂公网安备 42010302001612号 