数值分析

第一章 绪论
1 数值分析的对象与特点
2 误差来源与误差分析的重要性
3 误差的基本概念
3—1 误差与误差限
3—2 相对误差与相对误差限
3—3 有效数字
3—4 数值运算的误差估计
4 数值运算中误差分析的方法与原则
习题
第二章 插值法
1 引言
2 拉格朗日插值
2—1 插值多项式的存在唯一性
2—2 线性插值与抛物插值
2—3 拉格朗日插值多项式
2—4 插值余项
3 逐次线性插值法
4 均差与牛顿插值公式
4—1 均差及其性质
4—2 牛顿插值公式
5 差分与等距节点插值公式
5—1 差分及其性质
5—2 等距节点插值公式
6 埃尔米特插值
7 分段低次插值
7—1 多项式插值的问题
7—2 分段线性插值
7—3 分段三次埃尔米特插值
8 三次样条插值
8—1 三次样条函数
8—2 三转角方程
8—3 三弯矩方程
8—4 计算步骤与例题
8—5 三次样条插值的收敛性
习题
第三章 函数逼近与计算
1 引言与预备知识
1—1 问题的提出
1—2 维尔斯特拉斯定理
1—3 连续函数空间C[a, b]
2 最佳一致逼近多项式
2—1 最佳一致逼近多项式的存在性
2—2 切比雪夫定理
2—3 最佳一次逼近多项式
2—4 里姆斯算法
3 最佳平方逼近
3—1 内积空间
3—2 函数的最佳平方逼近
4 正交多项式
4—1 勒让德多项式
4—2 切比雪夫多项式
4—3 其他常用的正交多项式
5 函数按正交多项式展开
6 近似最佳一致逼近多项式
6—1 截断切比雪夫级数
6—2 拉格朗日插值余项的极小化
6—3 泰勒级数项数的节约
7 曲线拟合的最小二乘法
7—1 一般的最小二乘逼近
7—2 用正交函数作最小二乘拟合
7—3 多元最小二乘拟合
8 傅立叶逼近与快速傅立叶变换
8—1 最佳平方三角逼近与三角插值
8—2 快速傅氏变换 FFT
习题
第四章 数值积分与数值微分
1 引言
1—1 数值求积的基本思想
1—2 代数精度的概念
1—3 插值型的求积公式
2 牛顿—柯特斯公式
2—1 柯特斯系数
2—2 偶阶求积公式的代数精度
2—3 几种低阶求积公式的余项
2—4 复化求积法及其收敛法
3 龙贝格算法
3—1 梯形法的递推化
3—2 龙贝格公式
3—3 李查逊外推加速法
3—4 梯形法的余项展开式
4 高斯公式
4—1 高斯点
4—2 高斯—勒让德公式
4—3 高斯公式的余项
4—4 高斯公式的稳定性
4—5 带权的高斯公式
5 数值微分
5—1 中点方法
5—2 插值型的求导公式
5—3 实用的五点公式
5—4 样条求导
习题
第五章 常微分方程数值解法
1 引言
2 尤拉方法
2—1 尤拉公式
2—2 后退的尤拉公式
2—3 梯形公式
2—4 改进的尤拉公式
2—5 尤拉两步公式
3 龙格—库塔方法
3—1 泰勒级数法
3—2 龙格—库塔方法的基本思想
3—3 二阶龙格—库塔方法
3—4 三阶龙格—库塔方法
3—5 四阶龙格—库塔方法
3—6 变步长的龙格—库塔方法
4 单步法的收敛性和稳定性
4—1 单步法的收敛性
4—2 单步法的稳定性
5 线性多步法
5—1 基于数值积分的构造方法
5—2 亚当姆斯显式公式
5—3 亚当姆斯隐式公式
5—4 亚当姆斯预测—校正系统
5—5 基于泰勒展开的构造方法
5—6 米尔尼公式
5—7 哈明公式
6 方程组与高阶方程的情形
6—1 一阶方程组
6—2 化高阶方程组为一阶方程组
7 边值问题的数值解法
7—1 试射法
7—2 差分方程的建立
7—3 差分问题的可解性
7—4 差分方程的收敛性
习题
第六章 方程求根
1 根的搜索
1—1 逐步搜索法
1—2 二分法
2 迭代法
2—1 迭代过程的收敛性
2—2 迭代公式的加工
3 牛顿法
3—1 牛顿公式
3—2 牛顿法的几何解释
3—3 牛顿法的局部收敛性
3—4 牛顿法应用举例
3—5 牛顿下山法
4 弦截法与抛物线法
4—1 弦截法
4—2 抛物线法
5 代数方程求根
5—1 多项式求值的秦九韶算法
5—2 代数方程的牛顿法
5—3 劈因子法
习题
第七章 解线性方程组的直接方法
1 引言
2 高斯消去法
2—1 高斯消去法
2—2 矩阵的三角分解
2—3 计算量
3 高斯主元素消去法
3—1 完全主元素消去法
3—2 列主元素消去法
3—3 高斯—若当消去法
4 高斯消去法的变形
4—1 直接三角分解法
4—2 平方根法
4—3 追赶法
5 向量和矩阵的范数
6 误差分析
6—1 矩阵的条件数
6—2 舍入误差
习题
第八章 解线性方程组的迭代法
1 引言
2 雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法
2—1 雅可比迭代法
2—2 高斯—塞德尔迭代法
3 迭代法的收敛性
4 解线性方程组的超松弛迭代法
习题
第九章 矩阵的特征值与特征向量计算
1 引言
2 幂法及反幂法
2—1 幂法
2—2 加速方法
2—3 反幂法
3 雅可比方法
3—1 引言
3—2 雅可比方法
3—3 雅可比过关法
4 豪斯荷尔德方法
4—1 引言
4—2 用正交相似变换约化矩阵
5 QR算法
5—1 引言
5—2 QR算法
5—3 带原点位移的QR方法
习题
部分习题答案