流形的拓扑学

第1章 基本定义
1.1 定义和例
1.2 光滑函数与光滑映射
1.3 字流形和隐函数定理
1.4 技术性的问题
参考文献
第2章 切丛
2.1 流形的切丛
2.2 内在的描述
2.3 切空间的几何意义
2.4 球面的切丛
参考文献
第3章 矢量丛
3.1 定义和例
3.2 矢量丛上的运算
3.3 丛的正合序列、分裂和一的分裂
3.4 法丛
3.5 仿紧性与一的分割
第4章 流形上的微分学
4.1 方向导数和矢量场
4.2 矢量场的几何，积分曲线
4.3 括弧运算和Frobenius定理
4.4 矢量场的拓扑学
4.5 附录
参考文献
第5章 Lie群
5.1 Lie群的Lie代数
5.2 局部同构，Sophus Lie的基本定理
5.3 指数映射，较深的结果
5.4 Lie群上的Taylor级数展开市，更多的应用
5.5 解析结构和存在性定理
5.6 单连通Lie群
参考文献
第6章 微分形式
6.1 引言
6.2 函数的微分与一次微分形式
6.3 外代数的概述
6.4 高次微分形式
6.5 其它问题
参考文献
第7章 积分
7.1 引言
7.2 单形
7.3 矢量空间中的积分
7.4 流形上的积分
7.5 应用
参考文献
第8章 de Rham 定理
8.1 例和概述
8.2 奇异同调和de Rham定理
8.3 单纯形同调
8.4 de Rham定理的证明
8.5 复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲
参考文献
第9章 同调理论
9.1 一般的代数知识
9.2 正合性
9.3 同伦，单纯逼近
9.4 切除和Mayer-Vietoris序列
9.5 应用
9.6 CW复形和进一步的计算
参考文献
第10章 上同调
10.1 引言
10.2 Pontrjagin对偶性
10.3 乘积空间和Kunneth公式
10.4 “上”积（Cup Product）与“卡”积（Cup Product）
10.5 Thom同构定理
10.6 Hopf不变量
第11章 Poincare对偶性
11.1 引言
11.2 基本类
11.3 Poincare对偶定理
11.4 Thom-Pontrjagin构造
11.5 相交理论
第12章 纤维丛通论
12.1 引言
12.2 具有构造群的纤维丛
12.3 主丛
12.4 构造群的改变
12.5 万有丛和分类空间
12.6 覆盖同伦性质
12.7 杂记
参考文献
第13章 示性类
13.1 圆群G=S和对合G=Z的示性类
13.2 酉群U（n）的示性类（陈类）与正交群O(n)的示性类（Stiefel-Whitney类）
13.3 计算
13.4 其它的讲法
13.5 Pontrjagin 类
13.6 K-群和陈特征标
参考文献
第14章 表示论通论
14.1 引言
14.2 一般概念
14.3 紧群和不变积分
14.4 特权标与权
14.5 极大环面与E.Cartan定理
14.6 实表示
14.7 根与Weyl定理
14.8 E.Cartan定理
14.9 其它评述
参考文献
第15章 示性类绪论
15.1 Borel-Hirzebruch格式
15.2 齐性空间上的计算
15.3 H*（BO（n）;Q）和H*(BSO(n);Q)的计算
15.4 Pontrjagin数和配边不变性
参考文献
第16章 Hirzebruch指标定理
16.1 流形的指标
16.2 配边环的构造
16.3 乘法序列
16.4 Milnor的怪球
参考文献
第17章 Laplace 方程和Hodge理论
17.1 偏微分方程（PDE）概况
17.2 调和函数
17.3 Laplace-Beltrami算子
17.4 Hirzebruch指标定理的另一表述
17.5 Hodge 定理的证明，总的思路
17.6 Hodge 定理的证明，一个特例
17.7 Hodge定理的证明，一般情况
17.8 澄清，微分几何概述
17.9 复情况
第18章 Riemann-Roch定理
18.1 亚纯函数
18.2 Cech构造和层
18.3 层的上同调
18.4 Riemann-Roch定理
18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推广
18.6 其它的评述
参考文献
第19章 Atiyah-Singer指标定理
19.1 矢量丛上的一般微分算子
19.2 椭圆算子的解析指标，Hodge理论
19.3 K理论概述
19.4 Todd亏数和拓扑指标
19.5 Atiyah-Singer指标定理
参考文献
第20章 曲率和相关问题
20.1 曲率
20.2 曲面的Gauss-Bonnet定理
20.3 曲率和示性类
20.4 主从上的联络
20.5 Yang-Mills泛函
参考文献