计算方法

第1章  绪论        1
1.1  引言        1
1.2  误差的基本概念        4
1.3  浮点数系        8
1.4  计算复杂性和收敛速度        11
1.5  敏度分析与误差分析        12
1.6  常用数学软件介绍        14
习题        19
上机习题        21
第2章  多项式插值方法        22
2.1  引言        22
2.2  插值多项式的存在惟一性        23
2.3  Lagrange插值方法        25
2.4  Newton插值方法        28
2.5  分段低阶多项式插值方法        33
2.5.1  Runge现象        33
2.5.2  分段线性插值方法        35
2.5.3  两点三次Hermite插值方法        37
2.5.4  分段三次Hermite插值方法        39
2.5.5  三次样条插值方法        41
习题        44
上机习题        46
第3章  数值微分与数值积分        48
3.1  引言        48
3.2  数值微分        48
3.2.1  差商型求导公式        48
3.2.2  插值型求导公式        52
3.3  数值积分        55
3.3.1  数值积分的基本概念        55
3.3.2  中点公式、梯形公式与Simpson公式        56
3.3.3  复合求积公式        58
3.3.4  加速收敛技术与Romberg求积方法        62
3.3.5  Gauss求积公式        64
3.3.6  积分方程的数值解        70
习题        71
上机习题        74
第4章  线性方程组的数值解法        77
4.1  消元法        78
4.1.1  三角形方程组的解法        79
4.1.2  消元法和矩阵的三角分解        80
4.1.3  列选主元的三角分解        84
4.2  平方根法和追赶法        87
4.2.1  平方根法        88
4.2.2  追赶法        91
4.3  敏感性与稳定性分析        93
4.3.1  向量范数和矩阵范数        94
4.3.2  线性方程组的敏感性分析        95
4.3.3  数值方法的稳定性分析        97
4.4  古典迭代法        98
4.4.1  基本迭代法        99
4.4.2  收敛性分析        102
4.4.3  收敛速度        104
4.5  Krylov子空间方法        105
4.5.1  最速下降法        106
4.5.2  共轭梯度法        108
4.5.3  广义极小剩余法        112
习题        115
上机习题        119
第5章  最小二乘问题的数值解法        123
5.1  引言        123
5.2  变换法        126
5.3  正交分解法        128
5.3.1  Householder变换        130
5.3.2  Givens变换        133
5.3.3  计算QR分解的Householder方法        134
5.4  亏秩最小二乘问题的数值解法        136
习题        138
上机习题        139
第6章  矩阵特征值和特征向量的计算        141
6.1  基本迭代法        142
6.1.1  幂法        142
6.1.2  反幂法        145
6.1.3  Rayleigh商迭代        147
6.1.4  收缩技巧        149
6.1.5  子空间迭代法        150
6.2  QR方法        152
习题        159
上机习题        161
第7章  非线性方程(组)与无约束最优化问题的数值解法        163
7.1  引言        163
7.2  非线性方程的迭代解法        164
7.2.1  对分区间法        164
7.2.2  不动点迭代法        166
7.2.3  Newton迭代法        170
7.3  非线性方程组的迭代解法        173
7.3.1  非线性古典迭代法        174
7.3.2  Newton迭代法及其改进算法        175
7.4  无约束最优化问题的迭代解法        179
7.4.1  一维搜索法        180
7.4.2  最速下降法        184
7.4.3  共轭梯度法        186
7.4.4  Newton法        187
7.4.5  拟Newton法        188
7.5  非线性最小二乘问题        192
7.5.1  Gauss-Newton法        194
7.5.2  Levenberg-Marquardt方法        196
习题        197
上机习题        199
第8章  常微分方程初值问题的数值解法        203
8.1  基本概念        203
8.2  Euler方法        205
8.2.1  Euler格式及其稳定性        205
8.2.2  局部误差和方法的阶        209
8.2.3  Euler方法的误差分析        211
8.3  Runge-Kutta方法        213
8.3.1  Runge-Kutta方法的基本思想        213
8.3.2  显式Runge-Kutta方法及其稳定性        217
8.3.3  隐式Runge-Kutta方法        222
8.4  线性多步法与预估-校正格式        226
8.5  方程组及高阶方程数值解法        230
8.6  分子动力学的数值方法        232
习题        234
上机习题        235
第9章  偏微分方程数值解法        237
9.1  引言        237
9.2  抛物型方程的差分方法        238
9.3  双曲型方程的差分方法        250
9.4  椭圆型方程的有限元方法        257
9.4.1  两点边值问题的Galerkin方法与有限元方法        257
9.4.2  二维Poisson方程的有限元方法        265
习题        271
上机习题        273
第10章  快速算法        274
10.1  快速Fourier变换        274
10.1.1  离散Fourier变换        274
10.1.2  快速算法        276
10.1.3  应用举例        281
10.2  预处理加速技术        282
10.3  迭代法的磨光性质        285
10.3.1  两点边值问题        286
10.3.2  Richardson迭代        286
10.3.3  迭代的光滑作用        288
10.4  多重网格法简介        291
10.4.1  粗网格校正和二重网格方法        291
10.4.2  多重粗网格校正和多重网格方法        295
习题        297
上机习题        298
第11章  随机模拟方法        299
11.1  Monte Carlo方法        299
11.1.1  引言        299
11.1.2  随机数的产生        303
11.1.3  减小方差技巧        309
11.1.4  Metropolis算法        316
11.1.5  模拟退火算法        326
11.1.6  拟Monte Carlo方法        331
11.2  随机微分方程的数值解        336
11.2.1  引言        336
11.2.2  随机过程        337
11.2.3  Brown运动        340
11.2.4  随机微分方程与It?积分        345
11.2.5  随机微分方程的数值解        353
习题        359
上机习题        359
参考文献        361