实用偏微分方程（原书第4版）

第1章 热传导方程  
1.1 引言  
1.2 一维杆中热传导方程的推导  
1.3 边界条件  
1.4 平衡温度分布  
1.4.1 给定温度  
1.4.2 绝热边界  
1.5 二维或三维热传导方程的推导  
第2章 分离变量法  
2.1 引言  
2.2 线性性质  
2.3 在有限端处具有零温度的热传导方程  
2.3.1 概述  
2.3.2 分离变量  
2.3.3 不定常方程  
2.3.4 边值问题  
2.3.5 乘积解和叠加原理  
2.3.6 正弦函数的正交性  
2.3.7 实例  
2.3.8 小结  
2.4 有关热传导方程的例子：其他边值问题  
2.4.1 绝热端杆中的热传导  
2.4.2 细圆环中的热传导  
2.4.3 边值问题小结  
2.5 拉普拉斯方程：求解和定性性质  
2.5.1 矩形区域内的拉普拉斯方程  
2.5.2 圆盘内的拉普拉斯方程  
2.5.3 绕过圆柱体的流体流动（升力）  
2.5.4 拉普拉斯方程的定性性质  
第3章 傅里叶级数  
3.1 引言  
3.2 收敛定理  
3.3 傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数  
3.3.1 傅里叶正弦级数  
3.3.2 傅里叶余弦级数  
3.3.3 用正弦级数和余弦级数表示f(x)  
3.3.4 偶部和奇部  
3.3.5 连续傅里叶级数  
3.4 傅里叶级数的逐项微分  
3.5 傅里叶级数的逐项积分  
3.6 傅里叶级数的复形式  
第4章 波动方程：振动弦与振动膜  
4.1 引言  
4.2 弦振动方程的建立  
4.3 边界条件  
4.4 端点固定的振动弦  
4.5 振动膜  
4.6 电磁波与声波的反射与折射  
4.6.1 斯涅耳折射定律  
4.6.2 反射波与折射波的强度（振幅）  
4.6.3 内部全反射  
第5章 施图姆刘维尔特征值问题  
5.1 引言  
5.2 例子  
5.2.1 非均匀杆内的热流  
5.2.2 圆对称热流  
5.3 施图姆刘维尔特征值问题  
5.3.1 一般分类  
5.3.2 正则施图姆刘维尔特征值问题  
5.3.3 定理的举例和说明  
5.4 例子：非均匀杆中的无热源热流  
5.5 自伴算子和施图姆刘维尔特征值问题  
5.6 瑞利商  
5.7 例子：非均匀弦的振动  
5.8 第三类边界条件  
5.9 大特征值（渐近行为）  
5.10 逼近性质  
第6章 偏微分方程的有限差分数值法  
6.1 引言  
6.2 有限差分与截断泰勒级数  
6.3 热传导方程  
6.3.1 概述  
6.3.2 偏差分方程  
6.3.3 计算  
6.3.4 傅里叶冯·诺伊曼稳定性分析  
6.3.5 偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解  
6.3.6 矩阵记号  
6.3.7 非齐次问题  
6.3.8 其他数值格式  
6.3.9 其他类型的边界条件  
6.4 二维热传导方程  
6.5 波动方程  
6.6 拉普拉斯方程  
6.7 有限元法  
6.7.1 非正交函数逼近  
6.7.2 最简三角形有限元  
第7章 高维偏微分方程  
7.1 引言  
7.2 时间变量的分离  
7.2.1 振动膜:任意形状  
7.2.2 热传导:任意区域  
7.2.3 小结  
7.3 振动矩形膜  
7.4 特征值问题Δ2+λ=0的定理叙述和说明  
7.5 格林公式. 自伴算子和多维特征值问题  
7.6 瑞利商和拉普拉斯方程  
7.6.1 瑞利商  
7.6.2 依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程  
7.7 振动圆形膜和贝塞尔函数  
7.7.1 概述  
7.7.2 分离变量  
7.7.3 特征值问题(一维情形)  
7.7.4 贝塞尔微分方程  
7.7.5 奇异点和贝塞尔微分方程  
7.7.6 贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）  
7.7.7 涉及贝塞尔函数的特征值问题  
7.7.8 振动圆形膜的初值问题  
7.7.9 圆对称情形  
7.8 贝塞尔函数的进一步讨论  
7.8.1 贝塞尔函数的定性性质  
7.8.2 特征值的渐近公式  
7.8.3 贝塞尔函数的零点和结点曲线  
7.8.4 贝塞尔函数的级数表示  
7.9 圆柱体上的拉普拉斯方程  
7.9.1 概述  
7.9.2 分离变量  
7.9.3 侧面及顶部或底部为零温度的情形  
7.9.4 顶部和底部为零温度的情形  
7.9.5 修正贝塞尔函数  
7.10 球内的问题和勒让德多项式  
7.10.1 概述  
7.10.2 分离变量和一维特征值问题  
7.10.3 连带勒让德函数和勒让德多项式  
7.10.4 径向特征值问题  
7.10.5 乘积解. 振动模式和初值问题  
7.10.6 球内部的拉普拉斯方程  
第8章 非齐次问题  
8.1 引言  
8.2 有源热流与非齐次边界条件  
8.3 带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）  
8.4 利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）  
8.5 受迫振动膜与共振  
8.6 泊松方程  
第9章 定常问题的格林函数  
9.1 引言  
9.2 一维热传导方程  
9.3 常微分方程边值问题的格林函数  
9.3.1 一维稳态热传导方程  
9.3.2 参数变易法  
9.3.3 格林函数的特征函数展开法  
9.3.4 狄拉克δ函数及其与格林函数的关系  
9.3.5 非齐次边界条件  
9.3.6 小结  
9.4 弗雷德霍姆择一性与广义格林函数  
9.4.1 概述  
9.4.2 弗雷德霍姆择一性  
9.4.3 广义格林函数  
9.5 泊松方程的格林函数  
9.5.1 概述..  
9.5.2 多维狄拉克δ函数与格林函数  
9.5.3 用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性  
9.5.4 格林函数的直接解法(一维特征函数)  
9.5.5 用格林函数解带非齐次边界条件的问题  
9.5.6 无穷空间格林函数  
9.5.7 用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数  
9.5.8 用无穷空间格林函数求半无穷平面(y>0)的格林函数：像源法  
9.5.9 圆的格林函数：像源法  
9.6 扰动特征值问题  
9.6.1 概述  
9.6.2 数学例子  
9.6.3 拟圆膜振动  
9.7 小结  
第10章 无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法  
10.1 引言  
10.2 无穷域上的热传导方程  
10.3 傅里叶变换对  
10.3.1 傅里叶级数恒等式的启示  
10.3.2 傅里叶变换  
10.3.3 高斯函数的傅里叶逆变换  
10.4 傅里叶变换与热传导方程  
10.4.1 热传导方程  
10.4.2 傅里叶变换热传导方程：导数的变换  
10.4.3 卷积定理  
10.4.4 傅里叶变换性质小结  
10.5 傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程  
10.5.1 概述  
10.5.2 半无穷区间上的热传导方程Ⅰ  
10.5.3 傅里叶正弦和余弦变换  
10.5.4 导数的变换  
10.5.5 半无穷区间上的热传导方程Ⅱ  
10.5.6 傅里叶正弦和余弦变换表  
10.6 应用变换求解的例子  
10.6.1 无穷区间上的一维波动方程  
10.6.2 半无穷带上的拉普拉斯方程  
10.6.3 半平面上的拉普拉斯方程  
10.6.4 四分之一平面上的拉普拉斯方程  
10.6.5 平面上的热传导方程(二维傅里叶变换)  
10.6.6 二重傅里叶变换表  
10.7 散射和逆散射  
第11章 波动方程和热传导方程的格林函数  
11.1 引言  
11.2 波动方程的格林函数  
11.2.1 概述  
11.2.2 格林公式  
11.2.3 互反性  
11.2.4 使用格林函数  
11.2.5 波动方程的格林函数  
11.2.6 格林函数的另一个微分方程  
11.2.7 一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解  
11.2.8 三维波动方程的无穷空间格林函数(惠更斯原理)  
11.2.9 二维无穷空间格林函数  
11.2.10 小结  
11.3 热传导方程的格林函数  
11.3.1 概述  
11.3.2 热传导方程的非自伴特性  
11.3.3 格林公式  
11.3.4 伴随格林函数  
11.3.5 互反性  
11.3.6 用格林函数表示解  
11.3.7 格林函数的另一个微分方程  
11.3.8 扩散方程的无穷空间格林函数  
11.3.9 热传导方程的格林函数(在半无穷域上)  
11.3.10 热传导方程的格林函数(在有限区域上)  
第12章 线性和拟线性波动方程的特征线法  
12.1 引言  
12.2 一阶波动方程的特征线  
12.2.1 概述  
12.2.2 一阶偏微分方程的特征线法  
12.3 一维波动方程的特征线法  
12.3.1 通解  
12.3.2 初值问题(无穷区域)  
12.3.3 达朗贝尔解  
12.4 半无界弦和反射  
12.5 定长振动弦的特征线法  
12.6 拟线性偏微分方程的特征线法  
12.6.1 特征线法  
12.6.2 交通流量  
12.6.3 特征线法(Q=0)  
12.6.4 冲击波  
12.6.5 拟线性举例  
12.7 一阶非线性偏微分方程  
12.7.1 由波动方程推导出的短时距方程  
12.7.2 求解均匀介质中的短时距方程和反射波  
12.7.3 一阶非线性偏微分方程  
第13章 偏微分方程的拉普拉斯变换解法  
13.1 引言  
13.2 拉普拉斯变换的性质  
13.2.1 概述  
13.2.2 拉普拉斯变换的奇点  
13.2.3 导数的变换  
13.2.4 卷积定理  
13.3 常微分方程初值问题的格林函数  
13.4 波动方程的信号问题  
13.5 有限长度振动弦的信号问题  
13.6 波动方程及其格林函数  
13.7 用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换  
13.8 利用拉普拉斯变换求解波动方程(复变量)  
第14章 色散波：缓变. 稳定性. 非线性性和扰动法  
14.1 引言  
14.2 色散波和群速度  
14.2.1 行波和色散关系  
14.2.2 群速度Ⅰ  
14.3 波导  
14.3.1 对ωf频率集中周期性源的响应  
14.3.2 模式传播的格林函数  
14.3.3 模式不传播的格林函数  
14.3.4 设计思路  
14.4 光纤  
14.5 群速度Ⅱ和稳定相位法  
14.5.1 稳定相位法  
14.5.2 对线性色散波的应用  
14.6 缓变色散波(群速度和焦散曲线)  
14.6.1 色散偏微分方程的近似解  
14.6.2 焦散曲线的形成  
14.7 波包络方程(集中波数)  
14.7.1 薛定谔方程  
14.7.2 线性化KdV方程  
14.7.3 非线性色散波：KdV方程  
14.7.4 孤立子与逆散射  
14.7.5 非线性薛定谔方程  
14.8 稳定性和不稳定性  
14.8.1 常微分方程和分歧理论简介  
14.8.2 偏微分方程稳定平衡解的基本例子  
14.8.3 偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成  
14.8.4 不适定问题  
14.8.5 微不稳定色散波和线性化复金茨堡朗道方程  
14.8.6 非线性复金茨堡朗道方程  
14.8.7 长波的不稳定性  
14.8.8 反应扩散方程的模式形成和图灵不稳定性  
14.9 奇异扰动法：多尺度  
14.9.1 常微分方程：弱非线性阻尼振子  
14.9.2 常微分方程：缓变振子  
14.9.3 固定空间域上的微不稳定偏微分方程  
14.9.4 关于波动方程的缓变介质  
14.9.5 缓变线性色散波(包括弱非线性作用)