非线性偏微分方程引论

第1章 典型方程及其孤立波解1
1.1 历史回顾1
1.2 孤立波--非线性会聚和色散现象的巧妙平衡5
1.2.1 波动中的非线性会聚现象5
1.2.2 波动中的色散6
1.2.3 两种效应的平衡--KdV方程的解释8
1.3 KdV方程及其孤立波解9
1.3.1 KdV方程的导出10
1.3.2 KdV方程的孤立波解14
1.3.3 广义KdV方程的孤立波解17
1.4 非线性Schrdinger方程与光纤孤立子21
1.4.1 非线性Schrdinger方程的导出21
1.4.2 非线性Schrdinger方程的单孤立波解28
1.4.3 非线性Schrdinger方程行波形式的孤立波解30
1.5 非线性Sine-Gordon方程32
1.5.1 Josephson效应和非线性Sine-Gordon方程33
1.5.2 非线性Sine-Gordon方程的孤立波解35
1.5.3 非线性Sine-Gordon方程的呼吸孤立子解38
1.6 Burgers方程及其孤立波解40
1.6.1 交通模型--Burgers方程的导出40
1.6.2 Burgers方程的孤立波解42
1.6.3 Hopf-Cole变换43
第2章 反演散射方法与多孤立波解45
2.1 散射与反散射问题46
2.1.1 单孤立子解462.1.2 双孤立子解47
2.2 散射数据随时间的演化53
2.3 反散射法解KdV方程的具体过程 反演定理的证明58
2.4 KdV方程的n孤立子解66
2.4.1 单孤立子解66
2.4.2 双孤立子解68
2.4.3 n孤立子解71
2.5 反演散射方法的推广79
2.5.1 Lax方程79
2.5.2 AKNS方法81
2.6 非线性Schrdinger方程的反演散射解法87
2.6.1 基本思路87
2.6.2 非线性Schrdinger方程Lax对的确定88
2.6.3 直接散射问题（本征值问题）90
2.6.4 散射数据随时间t的演化93
2.6.5 逆散射变换95
2.6.6 孤立子解的构造99
第3章 Backlund变换105
3.1 Backlund变换的定义106
3.2 KdV方程的Bcklund变换110
3.3 Backlund变换与AKNS系统113
3.4 非线性叠加公式117
3.4.1 KdV方程的非线性叠加公式117
3.4.2 Sine-Gordon方程的非线性叠加公式118
3.4.3 互换定理的证明119
3.5 Backlund变换与反散射变换之间的关系122
第4章 可积性与Painlevé性质127
4.1 概述127
4.2 WTC方法133
4.3 实例136
4.3.1 讨论Burgers方程是否具有Painlevé性质136
4.3.2 讨论KdV方程的Painlevé性质138
4.4 变系数非线性偏微分方程的Painlevé性质140
4.4.1 广义变系数KP方程的Painlevé分析和可积性讨论140
4.4.2 描述顺流方向可变剪切流动的一类变系数Boussinesq方程的Painlevé分析143
第5章 相似变换与相似解146
5.1 群的概念及其在微分方程中的应用简介147
5.1.1 微分方程的不变群147
5.1.2 无穷小的延拓变换152
5.1.3 微分方程的不变性154
5.2 偏微分方程的经典Lie群变换法155
5.3 非经典无穷小变换方法168
5.4 求相似解的直接方法（CK方法）174
第6章 特殊变换法求解非线性偏微分方程186
6.1 Hirota双线性方法186
6.1.1 Hirota双线性变换的相关概念与性质186
6.1.2 Hirota双线性方法的具体步骤187
6.2 Darboux变换方法198
6.2.1 概述198
6.2.2 KP方程的Darboux变换205
6.2.3 Darboux变换的约化及KP方程的孤立子解209
6.3 齐次平衡方法211
6.3.1 方法概述211
6.3.2 用齐次平衡方法求解KdV-Burgers方程212
6.3.3 用齐次平衡方法求解非线性方程组215
6.4 函数展开方法216
6.4.1 tanh函数法217
6.4.2 Jacobi椭圆函数展开法218
6.4.3 函数展开法的扩展221
6.5 首次积分法226
6.5.1 首次积分法的基本原理227
6.5.2 利用首次积分法求解Fitzhugh-Nagumo方程229
6.5.3 Fisher方程的精确解234
附录A 椭圆函数与椭圆方程238
A1 椭圆函数238
A1.1 问题的提出238
A1.2 椭圆积分的定义239
A1.3 椭圆函数240
A1.4 椭圆函数的性质240
A2 Jacobi椭圆函数与椭圆方程243
附录B 首次积分与一阶偏微分方程246
B1 一阶常微分方程组的首次积分246
B1.1 首次积分的定义246
B1.2 首次积分的性质和存在性248
B2 一阶线性偏微分方程的解法255
B2.1 一阶线性齐次偏微分方程255
B2.2 一阶拟线性偏微分方程258
附录C 与波动相关的概念和术语261
C1 基本概念261
C2 线性波与非线性波263
C3 色散波264
C4 线性波和非线性波的色散267
C4.1 线性波的色散267
C4.2 非线性波的色散271
附录D 微扰方法简介273
附录E 超几何函数与超几何级数274
参考文献276