数学物理方程

第1章 典型方程与定解条件
1.1 基础理论知识
1.1.1 偏微分方程的一些基本概念
1.1.2 解析函数与调和函数
1.1.3 几个简单的求解偏微分方程的例子
1.2 一些典型方程的导出与定解条件
1.2.1 弦振动方程与定解条件
1.2.2 热传导方程与定解条件
1.2.3 定解问题
1.2.4 定解问题的适定性
1.3 变分原理
1.3.1 捷线问题
1.3.2 极小曲面问题
1.3.3 膜的平衡问题
1.4 二阶线性偏微分方程的分类
1.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程
1.4.2 多个自变量的二阶线性偏微分方程
1.5 叠加原理
习题1
第2章 分离变量法
2.1 基础理论知识
2.1.1 二阶线性常微分方程的解的结构
2.1.2 二阶线性常系数常微分方程的解法
2.1.3 常数变易法
2.1.4 欧拉方程的解法
2.1.5 傅里叶级数
2.2 分离变量法
2.2.1 有界弦的自由振动问题
2.2.2 有限长杆的热传导问题
2.2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
2.2.4 非齐次方程的求解问题
2.2.5 具有非齐次边界条件的问题
2.2.6 高维方程混合问题及边值问题的分离变量法
2.2.7 斯图姆一刘维尔（Strum—Liouville）问题
习题2
第3章 行波法
3.1 基础理论知识
3.2 一维齐次波动方程的初值问题
3.2.1 无界弦的自由振动
3.2.2 半无界弦的自由振动
3.3 一维非齐次波动方程的初值问题
3.3.1 无界弦的强迫振动问题
3.3.2 齐次初始条件的强迫振动问题
3.4 三维波动方程的初值问题
3.4.1 三维齐次波动方程的初值问题
3.4.2 三维非齐次波动方程的初值问题
3.5 二维波动方程的初值问题——降维法
3.5.1 二维齐次波动方程的初值问题
3.5.2 二维非齐次波动方程的初值问题
3.6 泊松公式的物理意义
3.6.1 三维波动方程初值问题泊松公式的物理意义
3.6.2 二维波动方程初值问题泊松公式的物理意义
习题3
第4章 积分变换法
4.1 基础理论知识
4.1.1 傅里叶变换
4.1.2 傅里叶正弦变换与余弦变换
4.1.3 拉普拉斯变换
4.2 积分变换的应用
4.2.1 傅里叶变换的应用
4.2.2 拉普拉斯变换的应用
习题4
第5章 格林函数法
5.1 基础理论知识
5.1.1 格林公式
5.1.2 高斯公式与散度
5.1.3 第一格林公式与第二格林公式
5.2 格林函数法
5.2.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
5.2.2 格林公式的应用
5.2.3 格林函数
5.2.4 格林函数的应用
习题5
第6章 特殊函数
6.1 基础理论知识
6.1.1 正项级数及其审敛法
6.1.2 微分方程的幂级数解法
6.1.3 T函数和B函数
6.2 特殊函数
6.2.1 贝塞尔函数
6.2.2 贝塞尔函数的应用
6.2.3 勒让德多项式
6.2.4 勒让德多项式的应用
6.2.5 埃尔米特多项式
习题6
第7章 能量积分法与变分法
7.1 基础理论知识
7.1.1 一维波动方程的能量积分
7.1.2 变分法的物理背景
7.2 能量积分法与变分法
7.2.1 一维波动方程初值问题的能量不等式
7.2.2 一维波动方程初值问题解的唯一性与稳定性
7.2.3 一维波动方程初边值问题的能量不等式
7.2.4 变分问题的可解性
7.2.5 吕兹一伽辽金方法
习题7
附录
附录I 傅里叶积分变换表
附录Ⅱ 拉普拉斯积分变换表
附录Ⅲ 数学物理方程发展历史简介
附录Ⅳ 数学物理方程自测试题
习题参考答案与提示
参考文献