第1篇 高 等 数 学
1.1 函数
1.1.1 求两类函数的表达式
题型1.1.1.1 已知一函数求其反函数的表达式
题型1.1.1.2 求与复合函数有关的函数表达式
1.1.2 函数的奇偶性
题型1.1.2.1 判别(证明)几类函数的奇偶性
题型1.1.2.2 奇、偶函数性质的应用
1.1.3 判别(证明)函数的周期性
1.1.4 判定函数的有界性
题型1.1.4.1 判定在有限开区间内连续函数的有界性
题型1.1.4.2 判定无穷区间内连续函数的有界性
题型1.1.4.3 判定分段连续函数的有界性
习题1.1
1.2 极限、连续
1.2.1 极限的概念与基本性质
题型1.2.1.1 正确理解极限定义中的“ε ?N”、“ε ?δ”、“ε ?X”语言的含义
题型1.2.1.2 正确区别无穷大量与无界变量
题型1.2.1.3 正确运用极限的保序性、保号性
题型1.2.1.4 正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限
题型1.2.1.5 正确理解乘积极限的存在性
题型1.2.1.6 正确理解复合函数极限的存在性
1.2.2 求未定式极限
题型1.2.2.1 求00型或∞∞型极限
题型1.2.2.2 求0?∞型极限
题型1.2.2.3 求∞-∞型极限
题型1.2.2.4 求幂指函数型(00型、∞0型、1∞型)极限
1.2.3 求数列极限
题型1.2.3.1 求数列通项为n项和的极限
题型1.2.3.2 求无穷多项积的极限
题型1.2.3.3 求有限项之和或之积的数列极限
题型1.2.3.4 求由递推关系式给出的数列的极限
1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限
题型1.2.4.1 求需先考察左、右极限的函数极限
题型1.2.4.2 求含根式差的函数极限
题型1.2.4.3 求含或可化为含指数函数差的函数极限
题型1.2.4.4 求含lnf(x)的函数极限，其中limx→□f(x)=1
题型1.2.4.5 求含有界变量因式的函数极限
题型1.2.4.6 求含取整函数的函数极限
1.2.5 求含参变量x的函数极限limn→∞φ(n,x)
题型1.2.5.1 求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)或可化为指数函数型F(x)g(n)
题型1.2.5.2 求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)或可化为幂函数型g(n)F(x)
题型1.2.5.3 求limt→t0φ(t,x)，其中φ(t,x)或可化为F(x)g(t)型或g(t)F(x)型
题型1.2.5.4
求limn→∞φ(n,x)=limn→∞F(n,x)g(x,n)或limt→t0φ(t,x)=limt→t0F(t,x)g(x,t)
1.2.6 已知一极限求其待定常数或另一极限
题型 1.2.6.1已知极限式的极限，求其待定常数
题型 1.2.6.2由含未知函数的一(些)极限，求含该函数的另一极限
1.2.7 比较和确定无穷小量的阶
题型 1.2.7.1比较无穷小量的阶
题型 1.2.7.2确定无穷小量的阶数
题型 1.2.7.3正确运用无穷小量阶的运算法则
1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型
题型 1.2.8.1判断函数的连续性
题型 1.2.8.2求函数的间断点并判断其类型
1.2.9 连续函数性质的两点应用
题型 1.2.9.1证明中值等式命题
题型 1.2.9.2证明方程实根的存在性
习题1.2
1.3一元函数微分学
1.3.1导数定义的两点应用
题型1.3.1.1判断函数在某点的可导性
题型1.3.1.2求分式函数的极限
题型1.3.1.3讨论函数性质
1.3.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性
题型1.3.2.1讨论分段函数的可导性
题型1.3.2.2讨论分段函数导函数的连续性
题型1.3.2.3讨论某类特殊分段函数的连续性、可导性及其导函数的连续性
1.3.3讨论含绝对值函数的可导性
题型1.3.3.1讨论｜f(x)｜的可导性
题型1.3.3.2讨论f(x)=｜φ(x)｜g(x)的可导性
1.3.4求一元函数的导数和微分
题型1.3.4.1求复合函数的导数
题型1.3.4.2求反函数的导数
题型1.3.4.3求隐函数的导数
题型1.3.4.4求由参数式确定的函数的导数
题型1.3.4.5求分段函数的导数
题型1.3.4.6求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数
题型1.3.4.7求某些简单函数的高阶导数
题型1.3.4.8求一元函数的微分
1.3.5利用连续性、可导性确定待定常数
题型1.3.5.1利用连续性确定待定常数
题型1.3.5.2利用可导性确定待定常数
1.3.6利用微分中值定理的条件及其结论解题
1.3.7利用罗尔定理证明中值等式
题型1.3.7.1证明中值等式f′(ξ)=0或f″(ξ)=0
题型1.3.7.2证明存在ξ∈(a,b)，使cf′(ξ)=bg′(ξ)，其中c,b为常数
题型1.3.7.3证明存在ξ∈(a,b)，使g(ξ)f′(ξ)+h(ξ)f(ξ)=Q(ξ)
题型1.3.7.4证明存在ξ∈(a,b) ，使f(ξ)g′(ξ)+f′(ξ)g(ξ)=0
题型1.3.7.5证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0
题型1.3.7.6证明存在ξ∈(a,b)，使f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0
题型1.3.7.7证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)+g′(ξ)f(ξ)=0
题型1.3.7.8证明存在ξ∈(a,b)，使nf(ξ)+ξf′(ξ)=0(n为正整数)
题型1.3.7.9证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)+g′(ξ)［f(ξ)-bξ］=b
题型1.3.7.10证明含两端点(及其函数值)的中值等式
题型1.3.7.11证明与定积分有关的中值等式
1.3.8拉格朗日中值定理的应用
题型1.3.8.1证明与函数差值(改变量)有关的中值（不）等式
题型1.3.8.2证明函数与其导函数的关系
题型1.3.8.3求解与函数差值有关的问题
题型1.3.8.4求中值的极限位置
1.3.9利用柯西中值定理证明中值等式
题型1.3.9.1证明两函数差值(增量)比的中值等式
题型1.3.9.2证明两函数导数比的中值等式
1.3.10证明多个中值所满足的中值等式
1.3.11泰勒定理的几点应用
题型1.3.11.1求函数的泰勒展开式
题型1.3.11.2应用泰勒公式(麦克劳林公式)求极限
题型1.3.11.3证明含高阶导函数的中值命题
题型1.3.11.4应用泰勒公式(或麦克劳林公式)证明不等式
题型1.3.11.5求函数在某点处的高阶导数值
1.3.12利用导数证明不等式
题型1.3.12.1证明与函数改变量有关的不等式
题型1.3.12.2利用函数的导数不等式证明函数不等式
题型1.3.12.3证明含有或可化为含有均值变量（自变量或函数）的不等式
题型1.3.12.4已知F(a)≥0(或F(b)≥0)，证明x＞a(或x＜b)时F(x)＞0
题型1.3.12.5证明含常数加项的不等式
题型1.3.12.6证明含两个变量(常数)的函数(数值)不等式
1.3.13讨论函数性态
题型1.3.13.1证明函数在某区间上是常数
题型1.3.13.2证明(判别)函数的单调性
题型1.3.13.3利用极限式讨论函数是否取得极值
题型1.3.13.4利用方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点
题型1.3.13.5利用导数不等式讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点
题型1.3.13.6利用极值点或拐点讨论函数性质
题型1.3.13.7求曲线的凹凸区间与拐点
题型1.3.13.8求函数的单调区间、极值、最值
题型1.3.13.9求曲线的渐近线
1.3.14函数性态与函数图形
题型1.3.14.1利用函数性态作函数图形
题型1.3.14.2已知函数图形，确定函数或其导函数性质(或图形)
题型1.3.14.3已知导函数图形，确定原来函数的性态
1.3.15利用函数性态讨论方程的根
题型1.3.15.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数
题型1.3.15.2讨论含参数的方程实根的存在性及其个数
题型1.3.15.3已知方程根的个数，求其参数的取值范围
1.3.16一元函数微分学的几何应用
题型1.3.16.1求平面曲线的切线方程和法线方程
题型1.3.16.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题
题型1.3.16.3求解与两曲线相切的有关问题
题型1.3.16.4求解与平面曲线的曲率有关的问题
习题1.3
1.4一元函数积分学
1.4.1原函数与不定积分的关系
题型1.4.1.1原函数的概念及其判定
题型1.4.1.2求分段函数的原函数或不定积分
题型1.4.1.3利用积分与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题
1.4.2各类被积函数不定积分的算法
题型1.4.2.1计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分
题型1.4.2.2计算简单无理函数的不定积分
题型1.4.2.3求∫1(ax+b)kf1(ax+b)k-1dx，其中k(k≠1)为正实数
题型1.4.2.4求∫f(x)g(x)dx
题型1.4.2.5求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的不定积分
题型1.4.2.6求三角函数的不定积分
题型1.4.2.7求被积函数含反三角函数的积分
题型1.4.2.8有理分式函数的积分∫P(x)Q(x)dx(其中P(x),Q(x)为多项式)的算法
1.4.3利用定积分性质计算定积分
题型1.4.3.1利用其几何意义计算定积分
题型1.4.3.2计算对称区间上的定积分
题型1.4.3.3计算周期函数的定积分
题型1.4.3.4利用定积分的常用计算公式求定积分
题型1.4.3.5计算被积函数含函数导数或已知其导数的函数的积分
题型1.4.3.6比较和估计定积分的大小
题型1.4.3.7求解含积分值为常数的函数方程
题型1.4.3.8计算几类需分子区间积分的定积分
题型1.4.3.9计算含参数的定积分
题型1.4.3.10求需换元计算的定积分
题型1.4.3.11求由定积分表示的变量极限
1.4.4求解与变限积分有关的问题
题型1.4.4.1计算含变限积分的极限
题型1.4.4.2求变限积分的导数
题型1.4.4.3求变限积分的定积分
题型1.4.4.4讨论变限积分函数的性态
1.4.5证明定积分等式
题型1.4.5.1证明定积分的变换公式
题型1.4.5.2证明定积分的中值等式
1.4.6证明积分不等式
题型1.4.6.1证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式
题型1.4.6.2证明函数及其导函数所满足的积分不等式
题型1.4.6.3证明∫baf(x)dx或∫baf(x)dx≤k(或≥k)，k为常数
题型1.4.6.4证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式
1.4.7计算反常积分
题型1.4.7.1计算无穷区间上的反常积分
题型1.4.7.2判别∫+∞adxxp (a>0)与∫+∞adxx(lnx)p (a>0)的敛散性
题型1.4.7.3判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛，计算其值
题型1.4.7.4判别∫badx(b-x)p与∫badx(x-a)p的敛散性，如收敛，计算其值
题型1.4.7.5判别混合型反常积分的敛散性，如收敛，计算其值
1.4.8定积分的应用
题型1.4.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积
题型1.4.8.2已知曲线所围平面图形的面积(或其旋转体体积)，反求该曲线
题型1.4.8.3计算旋转体体积
题型1.4.8.4计算旋转体的侧(表)面积
题型1.4.8.5计算平行截面面积已知的立体体积
题型1.4.8.6计算平面曲线的弧长
题型1.4.8.7求解几何应用与最值问题相结合的应用题
题型1.4.8.8用定积分计算质心(质量中心)
题型1.4.8.9计算物体沿直线所做的功
题型1.4.8.10计算压力与引力
题型1.4.8.11求函数在区间上的平均值
习题1.4
1.5多元函数微分学
1.5.1二(多)元函数微分学中的几个概念
题型1.5.1.1依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微
题型1.5.1.2讨论二元函数连续、可偏导及可微之间的关系
1.5.2计算偏导数和全微分
题型1.5.2.1利用隐函数存在定理确定隐函数
题型1.5.2.2计算显函数的偏导数
题型1.5.2.3求抽象复合函数的偏导数
题型1.5.2.4计算隐函数的偏导数
题型1.5.2.5作变量代换将偏导数满足的方程变形
题型1.5.2.6求二元函数的全微分
1.5.3多元函数微分学的应用
题型1.5.3.1求二元函数的极值
题型1.5.3.2求二(多)元函数的条件极值
题型1.5.3.3求二(多)元函数的最值
习题1.5
1.6二重积分
1.6.1利用二重积分性质求解与二重积分有关的问题
1.6.2交换积分次序及转换二（累）次积分
题型1.6.2.1交换二（累）次积分的积分次序
题型1.6.2.2转换二（累）次积分
1.6.3用直角坐标系计算二重积分
题型1.6.3.1计算需根据积分区域选择积分次序的二重积分
题型1.6.3.2计算需根据被积函数选择积分次序的二重积分
题型1.6.3.3计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分
题型1.6.3.4计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分
题型1.6.3.5分块计算二重积分
题型1.6.3.6计算无界区域上较简单的二重积分
1.6.4用极坐标系计算二重积分
题型1.6.4.1计算圆域x2+y2≤a(a＞0)上的二重积分
题型1.6.4.2计算圆域x2+y2≤2ax(a＞0)上的二重积分
题型1.6.4.3计算圆域x2+y2≤-2ax(a＞0)上的二重积分
题型1.6.4.4计算圆域x2+y2≤2by(b＞0)上的二重积分
题型1.6.4.5计算圆域x2+y2≤-2by(b＞0)上的二重积分
题型1.6.4.6计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c(a,b＞0)上的二重积分
题型1.6.4.7计算两圆域公共部分上的二重积分
1.6.5求含二重积分的极限
习题1.6(244)1.7常微分方程
1.7.1求解一阶线性微分方程
题型1.7.1.1求解可分离变量的微分方程
题型1.7.1.2求解齐次微分方程
题型1.7.1.3求解一阶线性微分方程
题型1.7.1.4求解几类可化为一阶线性方程的方程
题型1.7.1.5求解由自变量与因变量的两增量关系给出的一阶方程
题型1.7.1.6求满足某种性质的一阶线性方程的特解
1.7.2求解线性微分方程
题型1.7.2.1利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题
题型1.7.2.2求解几类可降阶的高阶微分方程
题型1.7.2.3求解常系数齐次线性方程
题型1.7.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程
题型1.7.2.5求解欧拉方程
题型1.7.2.6求解含变限积分的方程
题型1.7.2.7求解可化为一阶线性微分方程的函数方程
1.7.3已知特解反求其常系数线性方程
题型1.7.3.1已知其特解，反求该齐次方程
题型1.7.3.2已知其特解，反求该非齐次方程
1.7.4求解微分方程在几何与物理学上的简单应用题
题型1.7.4.1已知某曲线所围图形的几何量所满足的关系，反求该曲线
题型1.7.4.2求解与物理量有关的简单应用问题
习题1.7
第2篇线 性 代 数
2.1计算行列式
2.1.1计算几类数字型行列式
题型2.1.1.1计算非零元素(主要)在一条或两条对角线上的行列式
题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式
题型2.1.1.3计算行(列)和相等的行列式
题型2.1.1.4计算范德蒙行列式
题型2.1.1.5求代数余子式之和的值
题型2.1.1.6求行列式中含某因子的所有项
题型2.1.1.7计算三阶行列式
2.1.2计算抽象矩阵的行列式
题型2.1.2.1求由行(列)向量表示的矩阵的行列式的值
题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式
题型2.1.2.3求满足矩阵方程的某矩阵行列式之值
题型2.1.2.4已知某矩阵行列式的值，求相关联矩阵的行列式的值
题型2.1.2.5计算含零子块的四分块矩阵的行列式
题型2.1.2.6证明方阵的行列式等于零或不等于零
题型2.1.2.7利用特征值计算矩阵行列式
2.1.3克莱姆法则的应用
习题2.1
2.2矩阵
2.2.1证明矩阵的可逆性
题型2.2.1.1已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆，并求其逆矩阵
题型2.2.1.2证明矩阵A可逆，且A-1=B
题型2.2.1.3证明和(差)矩阵可逆
题型2.2.1.4证明含逆矩阵的矩阵可逆,并求其逆矩阵
题型2.2.1.5证明方阵为不可逆矩阵
2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法
2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题
题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(参阅题型2.1.2.2)
题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵
题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩
题型2.2.3.4求伴随矩阵
2.2.4计算n阶矩阵的高次幂
题型2.2.4.1计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂
题型2.2.4.2计算能相似对角化的矩阵的高次幂
题型2.2.4.3计算能分解为两个可交换矩阵之和的矩阵的高次幂
题型2.2.4.4计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵高次幂
2.2.5求矩阵的秩
题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩
题型2.2.5.2求抽象矩阵的秩
题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数
2.2.6分块矩阵乘法运算的应用举例
2.2.7求解矩阵方程
题型2.2.7.1求解含单位矩阵加项的矩阵方程
题型2.2.7.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程
题型2.2.7.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程
题型2.2.7.4求与已知矩阵可交换的所有矩阵
2.2.8初等变换与初等矩阵关系的应用
题型2.2.8.1用初等矩阵表示相应的初等变换
题型2.2.8.2利用初等矩阵逆矩阵的性质计算矩阵
2.2.9判别两同型矩阵等价的有关问题
习题2.2
2.3向量
2.3.1判别向量组线性相关、线性无关
题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题和填空题
题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性
题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性
题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数
2.3.2判定一向量能否由向量组线性表示
题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示
题型2.3.2.2判定一抽象向量能否由向量组线性表出
题型2.3.2.3判定一向量组能否由另一向量组线性表示
2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法
2.3.4向量组的秩与极大无关组
题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大无关组
题型2.3.4.2将向量用极大无关组线性表示
题型2.3.4.3证明与抽象向量组的秩有关的问题
题型2.3.4.4证一向量组为一极大无关组
2.3.5已知一向量(组)线性表示情况，求其所含待定常数
2.3.6将线性无关向量组正交规范化
习题2.3
2.4线性方程组
2.4.1判定线性方程组解的情况
题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况
题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况
2.4.2由其解反求方程组或其参数
题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数
题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中的参数
题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵
2.4.3证明一组向量为基础解系的常用方法
2.4.4基础解系和特解的简便求法
2.4.5求解含参数的线性方程组
题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组
题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的线性方程组
题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组
题型2.4.5.4求含参数的方程组满足一定条件的通解
2.4.6求抽象线性方程组的通解
题型2.4.6.1A没有具体给出，求AX=0的通解
题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解
题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求(证明)其解
2.4.7求两线性方程组的非零公共解
题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解
题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解
题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题
习题2.4(373)2.5矩阵的特征值、特征向量
2.5.1求矩阵的特征值、特征向量
题型2.5.1.1求元素给出的矩阵的特征值、特征向量
题型2.5.1.2求(证明)抽象矩阵的特征值、特征向量
2.5.2由特征值和(或)特征向量反求其矩阵
题型2.5.2.1由特征值和(或)特征向量反求矩阵的待定常数
题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵
题型2.5.2.3计算Anβ,其中β为列向量，A为方阵
2.5.3求相关联矩阵的特征值、特征向量
2.5.4判别同阶方阵是否相似
题型2.5.4.1判别方阵是否可对角化
题型2.5.4.2判别两同阶方阵是否相似
2.5.5相似矩阵性质的简单应用
2.5.6与两矩阵相似有关的计算
题型2.5.6.1矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag(λ1,λ2,…，λn),其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值
题型2.5.6.2A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值
题型2.5.6.3A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵Λ
题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP=B
习题2.5
2.6二次型
2.6.1求二次型的矩阵及其秩
题型2.6.1.1用矩阵形式表示二次型
题型2.6.1.2求二次型的秩
2.6.2化标准形及由标准形确定二次型
题型2.6.2.1化二次型为标准形
题型2.6.2.2将实对称矩阵合同对角化
题型2.6.2.3已知二次型的标准形，确定该二次型
2.6.3判别(证明)实二次型(实对称矩阵)的正定性
题型2.6.3.1判别具体给定的二次型或其矩阵的正定性
题型2.6.3.2判别或证明抽象二次型(实对称矩阵)的正定性
题型2.6.3.3确定待定常数或其取值范围使二次型或其矩阵正定
2.6.4判别两矩阵是否合同
题型2.6.4.1判别(证明)两实对称矩阵合同
题型2.6.4.2判别(证明)两矩阵不合同
2.6.5讨论矩阵等价、相似及合同的关系
习题2.6
习题答案与提示
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