1 The path integral on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Hilbert space and propagation in Euclidean time . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Hilbert spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Remarks on Hilbert spaces in particle physics . . . . . . . . . 3
1.1.3 Euclidean correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 The path integral for a quantum mechanical system. . . . . . . . . . 7
1.3 The path integral for a scalar field theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 The Klein-Gordon field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Lattice regularization of the Klein-Gordon Hamiltonian 11
1.3.3 The Euclidean time transporter for the free case. . . . . . . 14
1.3.4 Treating the interaction term with the Trotter formula . 15
1.3.5 Path integral representation for the partition function. . 16
1.3.6 Including operators in the path integral . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Quantization with the path integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.1 Different discretizations of the Euclidean action . . . . . . . 19
1.4.2 The path integral as a quantization prescription . . . . . . . 20
1.4.3 The relation to statistical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 QCD on the lattice - a first look. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 The QCD action in the continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Quark and gluon fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 The fermionic part of the QCD action . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Gauge invariance of the fermion action . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.4 The gluon action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.5 Color components of the gauge field . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Naive discretization of fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Discretization of free fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Introduction of the gauge fields as link variables . . . . . . . 33
2.2.3 Relating the link variables to the continuum gauge fields 34
2.3 The Wilson gauge action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Gauge-invariant objects built with link variables. . . . . . . 36
2.3.2 The gauge action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Formal expression for the QCD lattice path integral . . . . . . . . . 39
2.4.1 The QCD lattice path integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Pure gauge theory on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Haar measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Gauge field measure and gauge invariance . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Group integration measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.3 A few integrals for SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Gauge invariance and gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Maximal trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Other gauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.3 Gauge invariance of observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Wilson and Polyakov loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 Definition of the Wilson loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2 Temporal gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.3 Physical interpretation of the Wilson loop . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4 Wilson line and the quark-antiquark pair. . . . . . . . . . . . . 57
3.3.5 Polyakov loop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 The static quark potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 Strong coupling expansion of the Wilson loop . . . . . . . . . 59
3.4.2 The Coulomb part of the static quark potential . . . . . . . 62
3.4.3 Physical implications of the static QCD potential. . . . . . 63
3.5 Setting the scale with the static potential. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.1 Discussion of numerical data for the static potential . . . 64
3.5.2 The Sommer parameter and the lattice spacing. . . . . . . . 65
3.5.3 Renormalization group and the running coupling . . . . . . 67
3.5.4 The true continuum limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Lattice gauge theory with other gauge groups . . . . . . . . . . . . . . . 69
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Numerical simulation of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1 The Monte Carlo method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Simple sampling and importance sampling . . . . . . . . . . . . 74
4.1.2 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.3 Metropolis algorithm - general idea. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.4 Metropolis algorithm for Wilson's gauge action. . . . . . . . 79
4.2 Implementation of Monte Carlo algorithms for SU(3) . . . . . . . . 80
4.2.1 Representation of the link variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 Generating a candidate link for the Metropolis update . 83
4.2.4 A few remarks on random numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 More Monte Carlo algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 The heat bath algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Overrelaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Running the simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4.1 Initialization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.2 Equilibration updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4.3 Evaluation of the observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 Analyzing the data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.1 Statistical analysis for uncorrelated data . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.2 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5.3 Techniques for smaller data sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5.4 Some numerical exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Fermions on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1 Fermi statistics and Grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.1 Some new notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.2 Fermi statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1.3 Grassmann numbers and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1.4 Integrals over Grassmann numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.5 Gaussian integrals with Grassmann numbers . . . . . . . . . . 108
5.1.6 Wick's theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Fermion doubling and Wilson's fermion action . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 The Dirac operator on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2 The doubling problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.3 Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3 Fermion lines and hopping expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3.1 Hopping expansion of the quark propagator. . . . . . . . . . . 114
5.3.2 Hopping expansion for the fermion determinant . . . . . . . 117
5.4 Discrete symmetries of the Wilson action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.1 Charge conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.2 Parity and Euclidean reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4.3 γ 5 -hermiticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6 Hadron spectroscopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1 Hadron interpolators and correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 Meson interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.1.2 Meson correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1.3 Interpolators and correlators for baryons . . . . . . . . . . . . . 129
6.1.4 Momentum projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.5 Final formula for hadron correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.6 The quenched approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2 Strategy of the calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.1 The need for quark sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.2 Point source or extended source? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2.3 Extended sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.4 Calculation of the quark propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.5 Exceptional configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.6 Smoothing of gauge configurations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.3 Extracting hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.1 Effective mass curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.2 Fitting the correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3.3 The calculation of excited states. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 Finalizing the results for the hadron masses . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4.1 Discussion of some raw data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4.2 Setting the scale and the quark mass parameters . . . . . . 151
6.4.3 Various extrapolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4.4 Some quenched results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7 Chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1 Chiral symmetry in continuum QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.1 Chiral symmetry for a single flavor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.1.2 Several flavors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.3 Spontaneous breaking of chiral symmetry. . . . . . . . . . . . . 160
7.2 Chiral symmetry and the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.2.1 Wilson fermions and the Nielsen-Ninomiya theorem . . . 162
7.2.2 The Ginsparg-Wilson equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.3 Chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.3 Consequences of the Ginsparg-Wilson equation . . . . . . . . . . . . . 166
7.3.1 Spectrum of the Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.3.2 Index theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.3 The axial anomaly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.3.4 The chiral condensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.5 The Banks-Casher relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.4 The overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.1 Definition of the overlap operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4.2 Locality properties of chiral Dirac operators . . . . . . . . . . 178
7.4.3 Numerical evaluation of the overlap operator. . . . . . . . . . 179
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 Dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1 The many faces of the fermion determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.1 The fermion determinant as observable . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.1.2 The fermion determinant as a weight factor . . . . . . . . . . . 186
8.1.3 Pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1.4 Effective fermion action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.1.5 First steps toward updating with fermions . . . . . . . . . . . . 189
8.2 Hybrid Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.1 Molecular dynamics leapfrog evolution . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2.2 Completing with an accept-reject step . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.3 Implementing HMC for gauge fields and fermions. . . . . . 195
8.3 Other algorithmic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.1 The R-algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.2 Partial updates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.3 Polynomial and rational HMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.4 Multi-pseudofermions and UV-filtering . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.5 Further developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 Other techniques using pseudofermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5 The coupling-mass phase diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5.1 Continuum limit and phase transitions . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.5.2 The phase diagram for Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5.3 Ginsparg-Wilson fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6 Full QCD calculations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9 Symanzik improvement and RG actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.1 The Symanzik improvement program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.1.1 A toy example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.1.2 The framework for improving lattice QCD . . . . . . . . . . . . 215
9.1.3 Improvement of interpolators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.1.4 Determination of improvement coefficients . . . . . . . . . . . . 219
9.2 Lattice actions for free fermions from RG transformations . . . . 221
9.2.1 Integrating out the fields over hypercubes . . . . . . . . . . . . 222
9.2.2 The blocked lattice Dirac operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.3 Properties of the blocked action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.3 Real space renormalization group for QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.3.1 Blocking full QCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.3.2 The RG flow of the couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.3.3 Saddle point analysis of the RG equation . . . . . . . . . . . . . 232
9.3.4 Solving the RG equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.4 Mapping continuum symmetries onto the lattice . . . . . . . . . . . . . 236
9.4.1 The generating functional and its symmetries . . . . . . . . . 236
9.4.2 Identification of the corresponding lattice symmetries . . 238
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10 More about lattice fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1 Staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1.1 The staggered transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1.2 Tastes of staggered fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.1.3 Developments and open questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.2 Domain wall fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.2.1 Formulation of lattice QCD with domain wall fermions . 250
10.2.2 The 5D theory and its equivalence to 4D chiral
fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3 Twisted mass fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.3.1 The basic formulation of twisted mass QCD . . . . . . . . . . 254
10.3.2 The relation between twisted and conventional QCD . . . 256
10.3.3 O(a) improvement at maximal twist . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.4 Effective theories for heavy quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4.1 The need for an effective theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.4.2 Lattice action for heavy quarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.4.3 General framework and expansion coefficients . . . . . . . . . 263
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
11 Hadron structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.1 Low-energy parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.1.1 Operator definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.1.2 Ward identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.1.3 Naive currents and conserved currents on the lattice . . . 274
11.1.4 Low-energy parameters from correlation functions . . . . . 278
11.2 Renormalization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.2.1 Why do we need renormalization? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.2.2 Renormalization with the Rome-Southampton method . 281
11.3 Hadronic decays and scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.3.1 Threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.3.2 Beyond the threshold region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.4 Matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4.1 Pion form factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.4.2 Weak matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.4.3 OPE expansion and effective weak Hamiltonian . . . . . . . 295
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12 Temperature and chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1 Introduction of temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.1.1 Analysis of pure gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.1.2 Switching on dynamical fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
12.1.3 Properties of QCD in the deconfinement phase . . . . . . . . 310
12.2 Introduction of the chemical potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.2.1 The chemical potential on the lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.2.2 The QCD phase diagram in the (T, μ) space . . . . . . . . . . 317
12.3 Chemical potential: Monte Carlo techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.3.1 Reweighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.3.2 Series expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.3.3 Imaginary μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12.3.4 Canonical partition functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
A Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327
A.1 The Lie groups SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
A.1.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
A.1.2 Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
A.1.3 Generators for SU(2) and SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.1.4 Derivatives of group elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
A.2 Gamma matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
A.3 Fourier transformation on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.4 Wilson's formulation of lattice QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.5 A few formulas for matrix algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
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