Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Basics of Finite Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 SN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 AN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 T _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 DN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1 DN with N Even . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 DN with N Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4 D5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 QN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1 QN with N = 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.2 QN with N = 4n+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4 Q6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8 QD2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 QD16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 Σ(2N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Σ(18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.3 Σ(32) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.4 Σ(50) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10 Δ(3N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1 Δ(3N2) with N/3 _= Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.2 Δ(3N2) with N/3 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.3 Δ(27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11 TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.2 T7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.3 T13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.4 T19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12 Σ(3N3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
12.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.2 Σ(81) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13 Δ(6N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.1 Δ(6N2) with N/3 _= Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.2 Δ(6N2) with N/3 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.3 Δ(54) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.3.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.3.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
14 Subgroups and Decompositions of Multiplets . . . . . . . . . . . . . 147
14.1 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
14.1.1 S3→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
14.1.2 S3→Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
14.2 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14.2.1 S4→S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
14.2.2 S4→A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.2.3 S4→Σ(8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.3 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.3.1 A4→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
14.3.2 A4→Z2 ×Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.4 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.4.1 A5→A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.4.2 A5→D5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.4.3 A5→S3 _ D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.5 T _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.5.1 T _→Z6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
14.5.2 T _→Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.5.3 T _→Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.6 General DN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.6.1 DN →Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
14.6.2 DN →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.6.3 DN →DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.7 D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.7.1 D4→Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.7.2 D4→Z2 ×Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.7.3 D4→Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.8 General QN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.8.1 QN →Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
14.8.2 QN →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.8.3 QN →QM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14.9 Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.9.1 Q4→Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.10 QD2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14.10.1 QD2N →Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.10.2 QD2N →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.10.3 QD2N →DN/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.11 General Σ(2N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.11.1 Σ(2N2)→Z2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.11.2 Σ(2N2)→ZN ×ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
14.11.3 Σ(2N2)→DN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
14.11.4 Σ(2N2)→QN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.11.5 Σ(2N2)→Σ(2M2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
14.12 Σ(32) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14.13 General Δ(3N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
14.13.1 Δ(3N2)→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14.13.2 Δ(3N2)→ZN ×ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
14.13.3 Δ(3N2)→TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.13.4 Δ(3N2)→Δ(3M2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
14.14 Δ(27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
14.14.1 Δ(27)→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
14.14.2 Δ(27)→Z3 ×Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
14.15 General TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
14.15.1 TN →Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
14.15.2 TN →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
14.16 T7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
14.16.1 T7→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
14.16.2 T7→Z7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.17 General Σ(3N3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.17.1 Σ(3N2)→ZN ×ZN ×ZN . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.17.2 Σ(3N3)→Δ(3N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.17.3 Σ(3N3)→Σ(3M3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
14.18 Σ(81) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
14.18.1 Σ(81)→Z3 ×Z3 ×Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
14.18.2 Σ(81)→Δ(27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
14.19 General Δ(6N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
14.19.1 Δ(6N2)→Σ(2N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
14.19.2 Δ(6N2)→Δ(3N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
14.19.3 Δ(6N2)→Δ(6M2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
14.20 Δ(54) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.20.1 Δ(54)→S3 ×Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
14.20.2 Δ(54)→Σ(18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
14.20.3 Δ(54)→Δ(27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
15 Anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
15.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
15.2 ExplicitCalculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.2.1 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15.2.2 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
15.2.3 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
15.2.4 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
15.2.5 T _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
15.2.6 DN (N Even) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
15.2.7 DN (N Odd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
15.2.8 QN (N = 4n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
15.2.9 QN (N = 4n+2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
15.2.10 QD2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
15.2.11 Σ(2N2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
15.2.12 Δ(3N2) (N/3 _= Integer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
15.2.13 Δ(3N2) (N/3 Integer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
15.2.14 TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
15.2.15 Σ(3N3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
15.2.16 Δ(6N2) (N/3 _= Integer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
15.2.17 Δ(6N2) (N/3 Integer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
15.3 CommentsonAnomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
16 Non-Abelian Discrete Symmetry in Quark/Lepton Flavor Models . . 205
16.1 NeutrinoFlavorMixingandNeutrinoMassMatrix . . . . . . . . 205
16.2 A4 FlavorSymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
16.2.1 RealizingTri-BimaximalMixingofFlavors . . . . . . . . 207
16.2.2 Breaking Tri-Bimaximal Mixing . . . . . . . . . . . . . . 209
16.3 S4 Flavor Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
16.4 AlternativeFlavorMixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
16.5 CommentsonOtherApplications . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
16.6 CommentonOriginsofFlavorSymmetries . . . . . . . . . . . . 223
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Appendix A Useful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Appendix B Representations of S4 in Different Bases . . . . . . . . . . . 237
B.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
B.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B.3 Basis III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
B.4 Basis IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Appendix C Representations of A4 in Different Bases . . . . . . . . . . 245
C.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
C.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Appendix D Representations of A5 in Different Bases . . . . . . . . . . 247
D.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
D.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Appendix E Representations of T _ in Different Bases . . . . . . . . . . . 261
E.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
E.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Appendix F Other Smaller Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
F.1 Z4 _ Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
F.2 Z8 _ Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
F.3 (Z2 ×Z4) _ Z2 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
F.4 (Z2 ×Z4) _ Z2 (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
F.5 Z3 _ Z8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
F.6 (Z6 ×Z2) _ Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
F.7 Z9 _ Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
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