应用计算方法教程（第2版）

前言

序

第2版前言

第1版前言

第1章计算方法概论1

1 1引言1

1 1 1计算方法的意义1

1 1 2计算方法的特点与任务1

1 2算法与效率3

1 2 1算法3

1 2 2算法的效率4

1 3计算机机器数系与浮点运算6

1 3 1二进制数与计算机机器数系6

1 3 2数据的表示与浮点运算8

1 4误差10

1 4 1误差的概念10

1 4 2四则运算与函数求值的误差12

1 5问题的性态与算法的数值稳定性15

1 5 1问题的性态与条件数15

1 5 2算法的数值稳定性17

1 6应用实例与MATLAB22

1 6 1MATLAB简介22

1 6 2应用实例26

小结27

习题127

数值实验129

第2章数值计算的理论基础31

2 1度量空间与压缩映射31

2 1 1距离与极限31

2 1 2压缩映射32

2 2内积34

2 2 1线性空间34

2 2 2内积空间与元素的夹角35

2 3范数37

2 3 1赋范线性空间37

2 3 2向量范数与矩阵范数39

小结44

习题245

第3章非线性方程求根47

3 1引言47

3 1 1问题的背景47

3 1 2基本概念47

3 2二分法48

3 3不动点迭代法50

3 3 1不动点迭代50

3 3 2不动点迭代的收敛性、误差估计52

3 4牛顿迭代法56

3 4 1牛顿迭代法及其收敛性56

3 4 2牛顿迭代法的变形58

3 5迭代法收敛阶与加速收敛61

3 5 1迭代法收敛阶61

3 5 2重根的计算63

3 5 3加速收敛65

3 6应用实例与MATLAB68

3 6 1多项式求根68

3 6 2应用实例71

小结73

习题373

数值实验375

第4章线性方程组的直接解法77

4 1引言77

4 2Gauss消元法78

4 2 1回代法78

4 2 2Gauss顺序消元法79

4 2 3选主元消元法83

4 2 4Gauss消元法的计算量与稳定性87

4 3矩阵分解与应用89

4 3 1矩阵的直接LU分解89

4 3 2追赶法93

4 3 3平方根法96

4 4误差分析100

4 4 1方程组的误差估计100

4 4 2矩阵的条件数与迭代求精法101

4 5应用实例与MATLAB103

小结108

习题4108

数值实验4110

第5章方程组的迭代解法113

5 1引言113

5 2线性方程组的迭代解法113

5 2 1常用迭代法114

5 2 2迭代法收敛性分析120

5 3非线性方程组的迭代解法131

5 3 1简单迭代法131

5 3 2牛顿迭代法134

5 3 3最速下降法136

5 4应用实例与MATLAB138

小结141

习题5142

数值实验5144

第6章矩阵特征值的数值

计算147

6 1引言147

6 2幂法与反幂法149

6 2 1幂法与加速方法149

6 2 2反幂法158

6 3矩阵的正交分解160

6 3 1豪斯荷尔德变换和吉凡斯变换160

6 3 2矩阵正交相似上海森伯格阵165

6 4QR方法168

6 4 1矩阵的QR分解168

6 4 2QR方法171

6 4 3QR方法的改进172

6 5雅可比方法176

6 6应用实例与MATLAB180

6 6 1MATLAB中关于特征值与矩阵

分解相关的命令180

6 6 2应用实例181

小结186

习题6186

附录6187

数值实验6190

第7章插值法193

7 1引言193

7 1 1问题描述193

7 1 2代数插值194

7 2拉格朗日插值195

7 2 1线性插值和抛物插值195

7 2 2拉格朗日插值多项式196

7 2 3插值余项与误差估计197

7 3牛顿插值199

7 3 1差商及其性质199

7 3 2牛顿插值多项式及其插值余项201

7 3 3差分与等距结点牛顿插值204

7 4埃尔米特插值207

7 4 1埃尔米特插值多项式207

7 4 2埃尔米特插值余项209

7 5分段低次插值多项式210

7 5 1龙格现象与分段线性插值210

7 5 2分段三次埃尔米特插值多项式212

7 6三次样条插值213

7 6 1三次样条函数的概念213

7 6 2三弯矩法求三次样条插值函数215

7 7二维插值221

7 8应用实例与MATLAB224

7 8 1一维插值224

7 8 2高维插值226

小结230

习题7230

附录7233

数值实验7239

第8章函数逼近与曲线拟合243

8 1引言243

8 2正交多项式244

8 2 1正交函数系244

8 2 2勒让德多项式246

8 2 3切比雪夫多项式248

8 2 4其他常用的正交

多项式249

8 3最佳平方逼近250

8 3 1问题描述与求解250

8 3 2基于幂函数的最佳平方逼近252

8 3 3基于正交函数的最佳平方逼近255

8 4曲线拟合的最小二乘法258

8 4 1问题描述与求解258

8 4 2基于正交函数的最小二乘法262

8 5最佳平方三角逼近与离散傅里

叶变换264

8 6有理逼近268

8 7应用实例与MATLAB272

8 7 1函数逼近272

8 7 2数据拟合273

8 7 3快速傅里叶变换与三角插值277

小结277

习题8278

数值实验8281

第9章数值积分与数值微分283

9 1引言283

9 2插值型求积公式284

9 2 1代数精度285

9 2 2牛顿柯特斯积分286

9 2 3牛顿柯特斯公式的求积余项

和数值稳定性288

9 2 4复化求积公式290

9 2 5自适应求积公式293

9 3理查森外推法与龙贝格求积公式295

9 3 1理查森外推加速法295

9 3 2龙贝格求积公式296

9 4高斯求积公式299

9 4 1高斯型求积公式300

9 4 2几种常用高斯型求积公式302

9 5多重积分的数值计算308

9 5 1插值型求积公式308

9 5 2重积分的复化公式310

9 5 3计算多重积分的高斯法312

9 6数值微分313

9 6 1插值型数值微分316

9 6 2数值微分的外推法318

9 7应用实例和MATLAB320

9 7 1MATLAB中关于积分的命令320

9 7 2应用实例322

小结323

习题9324

数值实验9325

第10章常微分方程初值问题的

数值解法327

10 1引言327

10 2初值问题解法的基本概念 327

10 3简单单步法328

10 3 1欧拉方法328

10 3 2梯形公式与改进的欧拉方法331

10 4单步法的误差与稳定性334

10 4 1单步法的截断误差与阶334

10 4 2单步法的收敛性336

10 4 3单步法的稳定性337

10 5高阶单步方法339

10 5 1泰勒方法339

10 5 2龙格库塔方法340

10 6线性多步法345

10 6 1亚当姆斯显式法346

10 6 2亚当姆斯隐式法349

10 6 3线性多步法的稳定性351

10 6 4亚当姆斯预测—校正法353

10 7一阶微分方程组与高阶微分方程356

10 7 1一阶微分方程组的数值解法356

10 7 2高阶微分方程357

10 8应用实例与MATLAB359

10 8 1MATLAB关于常微分方程初值

问题数值解法的命令359

10 8 2应用实例360

小结363

习题10363

数值实验10365

第11章常微分方程边值问题的

数值解法367

11 1引言367

11 2打靶法367

11 3有限差分方法372

11 4应用实例与MATLAB375

11 4 1MATLAB关于常微分方程边值

问题数值解法的命令375

11 4 2应用实例375

小结379

习题11380

数值实验11381

部分习题参考答案383

参考文献396