第一部分理论
第 1章数学基础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1概率论基本知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.1联合界. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.2独立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.3二维随机变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.4马尔可夫、切比雪夫不等式和切尔诺夫界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.5特征函数和傅里叶变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.1.6概率密度函数的拉普拉斯变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.1.7概率母函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2独立的随机标量之和与中心极限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
1.3独立的随机标量之和及几个典型的偏差不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3.1由概率界到期望界的转换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.3.2 Hoe?ding不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
1.3.3伯恩斯坦不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.4概率论与矩阵分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4.1特征值、迹以及埃尔米特矩阵之和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4.2半正定矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4.3半正定矩阵的偏序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4.4矩阵函数 f(A)的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.4.5矩阵与向量的范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
1.4.6期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.4.7矩和尾概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.4.8随机向量与 Jensen不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
1.4.9收敛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
1.4.10独立的随机标量之和：切尔诺夫不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
1.4.11随机矩阵的期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
1.4.12特征值和谱范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
1.4.13谱映射. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.4.14算子凸性与单调性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
1.4.15矩阵函数之迹的单调性和凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
1.4.16矩阵指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.4.17 Golden-Thompson不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.4.18矩阵对数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.4.19量子相对熵和布雷格曼散度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.4.20 Lieb定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.4.21矩阵扩张 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
1.4.22半正定矩阵和偏序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
1.4.23期望与半定序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
1.4.24概率的矩阵表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
1.4.25等距性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
1.4.26特征值的 Courant-Fischer性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.5由非独立到独立的解耦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.6随机矩阵的基础知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
1.6.1傅里叶法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
1.6.2矩的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
1.6.3复高斯随机矩阵的期望矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
1.6.4埃尔米特高斯随机矩阵 HGRM(n, σ2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
1.6.5高斯随机矩阵 GRM(m, n, σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
1.7亚高斯随机变量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
1.8亚高斯随机向量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
1.9亚指数随机变量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
1.10 ε-网. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
1.11拉德马赫均值与对称化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
1.12作用于亚高斯随机向量的算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
1.13随机过程的上确界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
1.14伯努利序列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
1.15由随机矩阵和到随机向量和的转换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
1.16线性有界紧算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
1.17自伴随紧算子的谱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
第 2章矩阵值随机变量之和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
2.1随机矩阵和的推导方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
2.2矩阵拉普拉斯变换方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.2.1方法 1——Harvey推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.2.2方法 2——Vershynin推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.2.3方法 3——Oliveria推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
2.2.4方法 4——Ahlswede-Winter推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
2.2.5方法 5——Gross, Liu, Flammia, Becker以及 Eisert ...............68
2.2.6方法 6——Recht推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
2.2.7方法 7——Wigderson和 Xiao推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2.2.8方法 8——Tropp推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2.3矩阵累积量的拉普拉斯变换方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2.4矩母函数的不适用性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
2.5矩阵累积量母函数的次可加性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
2.6独立随机矩阵之和的尾概率界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
2.7矩阵高斯级数——个例研究 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
2.8应用：具有非均匀方差的高斯矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
2.9期望控制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
2.10随机半正定矩阵的和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
2.11矩阵 Bennett和伯恩斯坦不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
2.12随机矩阵之和的所有特征值的尾概率界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
2.13内部特征值的切尔诺夫界. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
2.14通过随机矩阵和完成线性滤波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
2.15随机矩阵和的无维数限制不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
2.16一些欣钦型不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
2.17半正定矩阵的稀疏和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
第 3章测量的集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
3.1测量的集中现象. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
3.2卡方分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
3.3随机向量的测量集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
3.4 Slepian-Fernique引理和高斯随机矩阵的测量集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5 Dudley不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6诱导算子范数的集中 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.7高斯和 Wishart随机矩阵的测量集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.8算子范数的测量集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.9亚高斯随机矩阵的测量集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.10最大特征值的测量集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.10.1 Talagrand不等式方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.10.2链方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.10.3一般随机矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.11随机向量投影的测量集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.12进一步讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
第 4章特征值及其函数的集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
4.1特征值和范数的上确界表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2特征值的利普希茨映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3矩阵特征值和矩阵迹的平滑性及凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.4矩阵函数的泰勒级数近似法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5 Talagrand集中不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6维格纳随机矩阵的谱测度集中理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.7随机矩阵的非可交换多项式集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.8 Wishart随机矩阵的谱测度集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.9两个随机矩阵和的集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.10子矩阵的集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.11矩方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.12迹函数的集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.13特征值的集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.14大随机矩阵函数的集中性：线性谱统计量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.15二次型的集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.16随机向量和子空间的距离. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.17斯蒂尔切斯变换域的随机矩阵集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.18冯·诺依曼熵函数的集中性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.19随机过程的上确界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.20进一步讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
第 5章随机矩阵的局部非渐近性理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
5.1符号记法和基础知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2迷向凸体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3对数凹的随机向量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4 Rudelson定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.5行独立的样本协方差矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.6对数凹迷向随机向量的集中理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.6.1 Paouris集中不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.6.2非增重排及次序统计量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.6.3样本协方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.7小球概率的集中不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.8矩估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.8.1对数凹的迷向随机向量的矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.8.2凸测度的矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.9随机矩阵的大数定律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.10低秩近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.11元素相互独立的随机矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.12具有独立行向量的随机矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.12.1独立的行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.12.2重尾分布的行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.13协方差矩阵的估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.14奇异值的集中性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.14.1紧致小偏差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.14.2高矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.14.3近似方阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.14.4方阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.14.5长方形矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.14.6随机矩阵和确定性矩阵的乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.14.7随机矩阵的行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.15随机矩阵的可逆性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.16奇异值的普适性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.16.1随机矩阵加确定的矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.16.2协方差矩阵和相关矩阵的普适性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.17进一步讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
第 6章随机矩阵的全局渐近理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
6.1大随机矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.2极限分布律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.3矩方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.4斯蒂尔切斯变换. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.5自由概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.5.1概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.5.2实际意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.5.3定义和基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.5.4自由独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.5.5自由卷积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.6斯蒂尔切斯，R和 S变换表格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
第二部分应用
第 7章压缩感知与稀疏重构 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241
7.1压缩感知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.2 JL引理与 RIP条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.3结构化随机矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.4循环矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.5随机测量矩阵与确定性字典 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.6部分随机循环矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
7.7时频结构化矩阵. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.8混沌过程的上确界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.9特普利茨随机矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.10确定性矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
第 8章矩阵填充与低秩矩阵重构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267
8.1低秩矩阵恢复 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.2矩阵 RIP性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
8.3重构误差限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.4假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.5高维统计学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
8.6矩阵压缩感知 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.6.1观测模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.6.2核范数正则化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8.6.3限制强凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.6.4低秩矩阵重构的误差限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.7线性回归 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.8多任务矩阵回归. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.9矩阵填充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.9.1正交分解与正交投影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
8.9.2矩阵填充 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
8.10冯 ·诺依曼熵惩罚与低秩矩阵预测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.10.1系统模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.10.2基于正交基的采样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.10.3低秩矩阵估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
8.10.4所用工具 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.11大量凸成分函数和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
8.12基于矩阵填充的相位恢复. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.12.1方法学. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.12.2基于凸优化的矩阵恢复 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
8.12.3相位空间成像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.12.4自相关 RF断层成像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.13进一步讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
第 9章高维协方差矩阵估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297
9.1大局观:感知、通信、计算和控制 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
9.1.1接收信号强度 (RSS)及其在异常检测中的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
9.1.2非连续正交频分复用 (NC-OFDM)波形及其在异常检测中的应用 . . . . 299
9.2协方差矩阵估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.2.1经典协方差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.2.2掩模化样本协方差矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9.2.3平稳时间序列的协方差矩阵估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
9.3协方差矩阵估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.4协方差矩阵的部分估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
9.5无限维数据的协方差矩阵估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9.6信号加噪声 Y = S + X的矩阵模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
9.7鲁棒的协方差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
第 10章高维检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .317
10.1 OFDM雷达 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.2主成分分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3稀疏主成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.4基于随机矩阵之和的信息加噪模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
10.5矩阵假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.6随机矩阵检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
10.7稀疏备择假设的球形检验. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.8与随机矩阵理论的联系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.8.1谱方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.8.2 Wishart矩阵的低秩扰动. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.9稀疏的主成分检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.9.1 k稀疏最大特征值的集中不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.9.2基于 λk 的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
max
10.9.3稀疏特征值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.10稀疏主成分检验的半定方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.10.1 λk 计算问题的半定松弛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
max
10.10.2凸松弛的高概率界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
10.10.3基于凸方法的假设检验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
10.11稀疏向量估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
10.12高维向量检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.13高维匹配子空间检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.14基于压缩感知的高维向量子空间检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.15数据矩阵检测 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.16高维双样本检验. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.17与非可交换随机矩阵假设检验的联系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
第 11章概率约束的优化问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343
11.1问题描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
11.2随机对称矩阵之和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.3随机矩阵之和的应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
11.4机会约束的线性矩阵不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
11.5概率约束的优化问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
11.6采用协同干扰机制的概率安全 AF中继 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
11.6.1引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
11.6.2系统模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
11.6.3提出的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
11.6.4仿真结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
11.7进一步讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
第 12章数据集的高效处理算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366
12.1低秩矩阵近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
12.2矩阵算法的行采样 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.3近似矩阵乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.4矩阵和张量稀疏化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
12.5进一步讨论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
第 13章网络到大数据 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372
13.1大数据的大随机矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
13.2高维假设检测实例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.3认知无线电网络测试平台. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
13.4无线分布式计算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.5数据收集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
13.6数据存储与管理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
13.7大数据集的数据挖掘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.8无人飞行器对无线网络移动性的利用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.9智能电网 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.10从认知无线电网络到复杂网络和随机图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.11随机矩阵理论和集中测量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379
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