高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程

目 录

第1章 函数1
1.1 知识要点1
1.1.1 函数1
1.1.2 常用不等式1
1.1.3 反函数2
1.1.4 复合函数2
1.1.5 关于函数表达式的求解2
1.1.6 一些常用的三角公式2
1.1.7 一些常用的代数公式3
1.2 典型例题分析4
1.2.1 题型一、函数表达式的求解与证明4
1.2.2 题型二、复合函数问题6
1.2.3 题型三、函数的四种几何特性7
1.3 深化训练9
1.4 深化训练详解10
第2章 极限与连续12
2.1 知识要点12
2.1.1 极限的概念与性质12
2.1.2 无穷小量与无穷大量13
2.1.3 四个极限存在准则与两个重要极限14
2.1.4 几个重要的结论15
2.1.5 施笃兹（O.Stolz）定理15
2.1.6 柯西（Cauchy）定理15
2.1.7 关于函数的连续性16
2.1.8 求极限的常用方法16
2.2 典型例题分析16
2.2.1 题型一、利用极限的分析定义求极限16
2.2.2 题型二、利用初等变换方法求极限18
2.2.3 题型三、利用四个极限存在准则求极限19
2.2.4 题型四、利用施笃兹定理求极限22
2.2.5 题型五、利用两个重要极限求极限23
2.2.6 题型六、利用等价无穷小量替换求极限24
2.2.7 题型七、利用中值定理求极限25
2.2.8 题型八、利用定积分的定义求极限28
2.2.9 题型九、函数的连续性问题29
2.2.10 题型十、连续函数的等式证明问题32
2.3 深化训练33
2.4 深化训练详解36
第3章 导数与微分44
3.1 知识要点44
3.1.1 导数的概念44
3.1.2 导数的几何意义44
3.1.3 高阶导数45
3.1.4 复合函数的求导法则45
3.1.5 反函数求导法则45
*3.1.6 参数方程所确定的函数的导数46
3.1.7 几个重要的结论46
3.1.8 达布（Darboux）定理46
3.2 典型例题分析46
3.2.1 题型一、导数的定义问题46
3.2.2 题型二、反函数、复合函数求导问题48
3.2.3 题型三、导数的几何意义49
3.2.4 题型四、利用导数的定义求极限50
3.2.5 题型五、分段函数的导数问题51
3.2.6 题型六、高阶导数问题51
3.2.7 题型七、隐函数的求导问题54
3.2.8 题型八、导数的等式证明问题54
3.2.9 题型九、导函数的连续性问题55
*3.2.10 题型十、导数的参数方程问题56
3.2.11 题型十一、导数的综合问题57
3.3 深化训练58
3.4 深化训练详解60
第4章 微分中值定理64
4.1 知识要点64
4.1.1 中值定理64
4.1.2 一些常用的麦克劳林公式65
4.1.3 一些常用的结论或公式66
4.2 典型例题分析66
4.2.1 题型一、利用中值定理证明等式问题66
4.2.2 题型二、利用中值定理证明不等式问题69
4.2.3 题型三、利用中值定理证明恒等式73
4.2.4 题型四、函数的零点、方程的根的问题74
4.2.5 题型五、利用泰勒公式求极限75
4.2.6 题型六、利用泰勒公式证明等式80
4.2.7 题型七、利用泰勒公式证明不等式80
4.2.8 题型八、泰勒公式的其他应用82
4.3 深化训练82
4.4 深化训练详解84
第5章 导数的应用89
5.1 知识要点89
5.1.1 洛必达法则89
5.1.2 函数的单调性89
5.1.3 函数的极值与最值89
5.1.4 曲线的凹凸区间与拐点89
5.1.5 曲线的渐近线90
5.1.6 函数图形的描绘90
*5.1.7 曲率、曲率圆与曲率半径90
5.2 典型例题分析91
5.2.1 题型一、洛必达法则的应用91
5.2.2 题型二、利用单调性或极值证明不等式94
5.2.3 题型三、函数的极值问题96
5.2.4 题型四、函数的零点、方程的根的问题99
5.2.5 题型五、凹凸性问题100
5.2.6 题型六、渐近线问题100
5.2.7 题型七、函数图形的描绘102
5.2.8 题型八、方程的近似解102
*5.2.9 题型九、曲率问题103
5.3 深化训练104
5.4 深化训练详解105
第6章 不定积分113
6.1 知识要点113
6.1.1 不定积分的定义与性质113
6.1.2 换元积分法113
6.1.3 分部积分法114
6.1.4 有理函数的积分法114
6.1.5 三角函数有理式的积分法114
6.1.6 简单无理函数的积分法115
6.1.7 常用积分公式表115
6.2 典型例题分析116
6.2.1 题型一、利用换元法、分部积分法求解不定积分116
6.2.2 题型二、利用等式求解不定积分120
6.2.3 题型三、利用三角替换方法求解不定积分121
6.2.4 题型四、求解三角有理函数的不定积分123
6.2.5 题型五、递推公式问题124
6.2.6 题型六、分段函数问题125
6.2.7 题型七、隐函数的积分126
6.3 深化训练126
6.4 深化训练详解128
第7章 定积分134
7.1 知识要点134
7.1.1 定积分的概念134
7.1.2 定积分的基本性质135
7.1.3 积分中值定理135
7.1.4 变上限积分函数136
7.1.5 定积分的计算136
7.1.6 反常积分（或广义积分）136
7.1.7 函数137
7.1.8 定积分的应用137
7.1.9 几个重要的结论139
7.2 典型例题分析140
7.2.1 题型一、定积分的求解140
7.2.2 题型二、 变限积分问题141
7.2.3 题型三、积分不等式问题142
7.2.4 题型四、积分等式问题146
7.2.5 题型五、反常积分问题148
7.2.6 题型六、积分的应用问题149
7.2.7 题型七、定积分的其他问题153
7.3 深化训练156
7.4 深化训练详解158
第8章 多元函数微分学166
8.1 知识要点166
8.1.1 二元函数的极限与连续性166
8.1.2 偏导数166
8.1.3 高阶偏导数167
8.1.4 全微分168
*8.1.5 方向导数与梯度168
8.1.6 多元复合函数微分法169
8.1.7 隐函数微分法169
8.1.8 多元函数的极值169
8.1.9 条件极值与拉格朗日乘数法170
8.1.10 多元函数的最值170
8.2 典型例题分析170
8.2.1 题型一、多元函数的极限与连续问题170
8.2.2 题型二、偏导数的概念问题172
8.2.3 题型三、多元函数的全微分问题174
*8.2.4 题型四、多元函数的方向导数和梯度的求解176
8.2.5 题型五、多元函数的复合求导与隐函数求导问题177
8.2.6 题型六、多元函数的极值和最值问题183
8.2.7 题型七、多元函数微分学的综合问题185
8.3 深化训练187
8.4 深化训练详解189
第9章 多元函数积分学192
9.1 知识要点192
9.1.1 二重积分的概念192
9.1.2 二重积分的性质192
9.1.3 直角坐标系下二重积分的计算193
9.1.4 极坐标系下二重积分的计算193
9.1.5 二重积分的对称性原理194
*9.1.6 二重积分的换元公式194
*9.1.7 三重积分的概念195
*9.1.8 三重积分的计算195
*9.1.9 三重积分的换元法196
*9.1.10 三重积分的对称性原理196
9.2 典型例题分析197
9.2.1 题型一、二重积分的概念与性质问题197
9.2.2 题型二、二重积分的基本计算方法198
9.2.3 题型三、分段函数的二重积分200
9.2.4 题型四、利用对称性原理计算二重积分201
9.2.5 题型五、二重积分的换元积分法205
9.2.6 题型六、二重积分的应用问题206
9.2.7 题型七、二重积分的相关证明207
9.2.8 题型七、二重积分的综合问题209
*9.2.9 题型八、三重积分的性质与计算214
9.3 深化训练218
9.4 深化训练详解220
第10章 常微分方程224
10.1 知识要点224
10.1.1 微分方程的基本概念224
10.1.2 一阶微分方程的解法224
10.1.3 可降阶的二阶微分方程225
10.1.4 二阶线性微分方程解的结构226
10.1.5 二阶常系数线性微分方程的解法226
*10.1.6 高阶线性微分方程227
*10.1.7 欧拉方程227
10.2 典型例题分析228
10.2.1 题型一、可分离变量微分方程与齐次微分方程的求解228
10.2.2 题型二、一阶线性微分方程与伯努利方程的解法229
10.2.3 题型三、全微分方程的解法231
10.2.4 题型四、可降阶的二阶微分方程的解法232
10.2.5 题型五、二阶线性微分方程解的结构233
10.2.6 题型六、二阶常系数线性微分方程的解法234
10.2.7 题型七、微分方程的综合问题237
*10.2.8 题型八、微分方程建模问题242
10.3 深化训练245
10.4 深化训练详解247
第11章 无穷级数252
11.1 知识要点252
11.1.1 数项级数的定义与性质252
11.1.2 级数敛散性的判别253
11.1.3 三个重要的级数254
11.1.4 函数项级数的概念254
11.1.5 幂级数的有关概念255
11.1.6 幂级数的和函数的性质255
11.1.7 初等函数展开成xx0的幂级数256
*11.1.8 函数项级数的一致收敛性及性质256
*11.1.9 傅里叶级数257
11.2 典型例题分析259
11.2.1 题型一、正项级数敛散性的判定259
11.2.2 题型二、任意项级数敛散性的判定265
11.2.3 题型三、函数项级数收敛域的求解268
11.2.4 题型四、级数收敛充要条件的应用269
11.2.5 题型五、求解数项级数的和273
11.2.6 题型六、幂级数收敛半径及收敛域的求解276
11.2.7 题型七、求解幂级数的和函数278
11.2.8 题型八、函数的幂级数展开283
*11.2.9 题型九、傅里叶级数的相关问题286
11.2.10 题型十、无穷级数的应用问题287
11.3 深化训练288
11.4 深化训练详解291
*第12章 空间解析几何与向量代数302
12.1 知识要点302
12.1.1 向量的概念及线性运算302
12.1.2 平面方程及其相关概念303
12.1.3 直线及其表示303
12.1.4 曲面及其表示304
12.1.5 空间曲线304
12.2 典型例题分析305
12.2.1 题型一、向量的运算问题305
12.2.2 题型二