用数学的语言看世界

第1章　从不确定的信息中作出判断．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
序欧　杰 辛普森审判与德肖维茨教授的辩护主张．．．．．．．．．．．．．．．．．．1
1．先来掷骰子．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3
2．赌博中的不败之法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4
3．条件概率与贝叶斯定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8
4．乳腺癌检查是否没有意义？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　10
5．用数学来“学习经验”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　13
6．核电站重大事故再次发生的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　15
7．欧　杰 辛普森真的杀害了妻子吗？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　18
第2章　回归基本原理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　21
序创新与创造的必要条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　21
1．加法、乘法与运算三定律．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　22
2．减法与0的发现．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　25
3．(．1)×(．1)　为何等于1 ？ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　29
4．分数与无限分割．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　32
5．假分数→带分数→连分数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　33
6．用连分数制作历法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　35
7．过去不被认可的无理数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　37
8．二次方程的华丽历史．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　43
用数学的语言看世界
第3章　大数字并不恐怖．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　49
序最初的原子弹爆炸实验与“费米问题”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　49
1．大气中的二氧化碳究竟增加了多少．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　51
1．1　人类消耗了多少能量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　51
1．2　人类排放了多少二氧化碳．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　52
2．遇到大数字不必慌张．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　53
3．让天文学家寿命倍增的秘密武器．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　56
4．复利最大化的存款方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　59
5．让银行存款翻倍需要多少年．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　61
6．用对数透视自然法则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　64
第4章　不可思议的素数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　69
序纯粹数学的精华．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　69
1．埃拉托斯特尼筛法与素数的发现．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　72
2．素数有无穷个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　74
3．素数的分布存在规律．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　77
4．用素数判定“帕斯卡三角形”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　79
5．通过费马检测就是素数？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　82
6．保护通信秘密的“公钥密码”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　85
7．公钥密码的钥匙，欧拉定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　87
8．信用卡卡号SSL传输的原理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　90
第5章　无限世界与不完备性定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　97
序欢迎来到加州旅馆！．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　97
11=0．99999．．．让人难以接受？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　107
2．阿喀琉斯永远追不上乌龟？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　110
3．“我正在说谎”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　112
4．“不在场证明”与“反证法”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　114
5．哥德尔不完备性定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　115
第6章　测量宇宙的形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　121
序古希腊人如何测量地球周长？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　121
1．基础中的基础，三角形的性质．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　125
1．1　证明三角形内角和为180°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　127
1．2　让人终生难忘的“勾股定理”证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　130
2．笛卡儿坐标与划时代的创想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　134
3．六维、九维、十维．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　138
4．欧几里得公理不成立的世界．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　140
5．唯独平行公理不成立的世界．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　142
6．不用外部观测即可得知形状的“神奇定理”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　145
7．画一个边长为100亿光年的三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　148
第7章　微分源于积分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　153
序来自阿基米德的书信．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　153
1．为何先从积分开始？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　155
2．面积究竟如何计算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　156
3．任何形状都OK，阿基米德的夹逼定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　158
4．积分究竟计算什么．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　160
5．积分与函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　164
6．飞矢不动？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　167
7．微分是积分的逆运算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　169
8．指数函数的微分与积分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　171
第8章　真实存在的“假想数字”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　175
序假想的朋友，假想的数字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　175
1．平方为负的奇怪数字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　176
2．从一维的实数到二维的复数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　179
3．复数的乘法运算“旋转与伸长”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　185
4．从加法导出的加法定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　189
5．用方程解决几何问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　191
6．三角函数、指数函数与欧拉公式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　195
第9章　测量“难”与“美”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　201
序伽罗瓦，20年的生涯与不灭功绩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　201
1．图形的对称性是什么．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　206
2．“群”的发现．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　210
3．二次方程求根公式的秘密．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　214
4．三次方程为何可解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　218
5．方程可解是什么意思．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　224
6．五次方程与正二十面体．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　227
7．伽罗瓦最后的书信．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　229
8．方程的“难度”与图形的“美”．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　230
9．拥有第二个灵魂．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　233
后记．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　237