数学物理方法（第2版）

目　　录
前　言
第１章　复变函数引论 １
　１.１　复数与复变函数 １
１.１.１　复数表示法 ２
１.１.２　复数的运算规则 ３
１.１.３　复变函数的概念 ５
１.１.４　复多项式与复变函数的幂级数 １０
　１.２　初等复变函数与反函数 １４
１.２.１　初等复变函数的定义 １４
１.２.２　指数函数、三角函数与双曲函数 １５
１.２.３　反函数 １９
　１.３　复变函数的导数与解析函数 ２３
１.３.１　复变函数的导数与解析函数的定义 ２３
１.３.２　柯西Ｇ黎曼方程 ２６
１.３.３　多值函数的解析延拓 ２９
　１.４　复变函数的积分 ３２
１.４.１　复变函数积分的概念和计算 ３２
１.４.２　柯西古萨定理 ３５
１.４.３　复变函数的原函数与积分 ３７
　１.５　解析函数的高阶导数和泰勒级数 ４１
１.５.１　解析函数的高阶导数 ４１
１.５.２　泰勒级数 ４６
　１.６　罗朗级数与留数 ４９
１.６.１　罗朗级数 ５０
１.６.２　留数和围道积分 ５４
１.６.３　留数的简便求法 ５７
　１.７　留数在定积分计算中的应用 ５８
１.７.１　∫２π
０
f(cosθ,sinθ)dθ型积分 ６０
Ⅴ
数学物理方法　第２版
１.７.２　∫＋∞
－∞
f(x)dx型积分 ６１
１.７.３　∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型积分 ６２
１.７.４　∫＋∞
－∞
f(x)dx型积分,且f(x)在实轴上有一阶极点的积分 ６３
１.７.５　∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型积分,且f(x)在实轴上有一阶极点的积分 ６４
　习题１ ６４
第２章　傅里叶变换 ６９
　２.１　函数空间及函数展开 ６９
２.１.１　函数的内积 ６９
２.１.２　平方可积函数空间与函数展开 ７３
　２.２　傅里叶积分与傅里叶变换 ７８
２.２.１　一维傅里叶变换定理 ７８
２.２.２　多维傅里叶变换 ８３
　２.３　阶跃函数与δ函数的傅里叶变换 ８４
２.３.１　阶跃函数及广义傅里叶变换 ８４
２.３.２　广义函数及δ(x)函数 ８８
２.３.３　δ(x)函数的性质 ９２
　２.４　傅里叶变换的性质 ９８
　２.５　函数的卷积与傅里叶变换的卷积定理 １０３
２.５.１　函数的卷积 １０３
２.５.２　傅里叶变换的卷积定理 １０６
　２.６　复值函数的傅里叶变换 １０８
　习题２ １０９
第３章　拉普拉斯变换 １１３
　３.１　拉普拉斯变换的基本原理 １１３
３.１.１　拉普拉斯变换的概念 １１３
３.１.２　周期脉冲函数拉普拉斯变换的计算方法 １１７
　３.２　拉氏变换的性质 １１８
　３.３　拉氏变换的卷积定理 １２６
３.３.１　卷积的意义和它的运算规则 １２６
３.３.２　卷积定理 １２７
　３.４　拉氏逆变换及其应用 １３０
Ⅵ
目　　录
３.４.１　拉氏逆变换的反演积分原理 １３０
３.４.２　用拉氏逆变换解常微分方程 １３３
　习题３ １３８
第４章　用分离变量法求解偏微分方程 １４０
　４.１　数学物理方程的导出 １４０
　４.２　定解问题的基本概念 １４６
４.２.１　泛定方程的基本概念 １４６
４.２.２　定解条件 １４９
４.２.３　线性偏微分方程解的叠加定理 １５１
　４.３　直角坐标系下的分离变量法 １５３
４.３.１　一维齐次定解问题的分离变量法 １５３
４.３.２　高维齐次定解问题的分离变量法 １５９
　４.４　直角坐标系下的第三类边值问题与广义傅里叶级数 １６１
４.４.１　直角坐标系下的第三类边值问题的求解 １６１
４.４.２　广义傅里叶级数 １６４
　４.５　拉普拉斯方程的定解问题 １６７
４.５.１　平面直角坐标系中的狄利克莱问题 １６７
４.５.２　直角坐标系中拉普拉斯方程的混合定解问题 １６９
４.５.３　圆域内的狄利克莱问题 １７１
　４.６　特征函数展开法解齐次边界条件的定解问题 １７４
４.６.１　齐次边界条件发展方程初值问题的解法 １７５
４.６.２　非齐次边界条件边值问题的解法 １７７
　４.７　非齐次边界条件的处理 １８０
　习题４ １８４
第５章　二阶线性常微分方程的级数解法和广义傅里叶级数 １８８
　５.１　贝塞尔方程与勒让德方程 １８８
５.１.１　贝塞尔方程的导出 １８９
５.１.２　勒让德方程的引入 １９１
　５.２　二阶线性常微分方程的幂级数解法 １９３
５.２.１　二阶线性常微分方程的奇点与常点 １９３
５.２.２　二阶线性常微分方程的幂级数解 １９４
　５.３　二阶线性常微分方程的广义幂级数解法 １９８
５.３.１　弗罗贝尼乌斯解法理论 １９８
５.３.２　弗罗贝尼乌斯级数解法 ２０２
Ⅶ
数学物理方法　第２版
　５.４　常微分方程的边值问题 ２０７
５.４.１　常微分方程边值问题的提出 ２０７
５.４.２　SL问题的定理 ２１０
５.４.３　广义傅里叶级数的进一步讨论 ２１３
　习题５ ２１７
第６章　柱面坐标中的偏微分方程解法 ２１９
　６.１　贝塞尔方程的解与贝塞尔函数 ２１９
６.１.１　第一类和第二类贝塞尔函数 ２１９
６.１.２　整数阶诺依曼函数 ２