数值分析（第5版）

上篇 数值算法分析
第1章 绪论(1)
1.1 数值分析研究的对象与特点(1)
1.2 误差来源与误差分析的重要性(2)
1.3 误差的基本概念(4)
1.3.1 误差与误差限(4)
1.3.2 相对误差与相对误差限(5)
1.3.3 有效数字(6)
1.3.4 数值运算的误差估计(7)
1.4 数值运算中误差分析的方法与原则(9)
1.4.1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法(9)
1.4.2 要避免两相近数相减(10)
1.4.3 要防止大数“吃掉”小数(11)
1.4.4 注意简化计算步骤，减少运算次数(11)
小结(12)
习题(12)
第2章 插值法(14)
2.1 引言(14)
2.2 Lagrange插值(15)
2.2.1 插值多项式的存在唯一性(15)
2.2.2 线性插值与抛物插值(16)
2.2.3 Lagrange插值多项式(18)
2.2.4 插值余项(19)
2.3 逐次线性插值法(21)
2.4 差商与Newton插值公式(23)
2.4.1 差商及其性质(23)
2.4.2 Newton插值公式(24)
2.5 差分与等距节点插值公式(26)
2.5.1 差分及其性质(26)
2.5.2 等距节点插值公式(28)
2.6Hermite插值(29)
2.7 分段低次插值(32)
2.7.1 多项式插值的问题(32)
2.7.2 分段线性插值(33)
2.7.3 分段三次Hermite插值(34)
2.8 三次样条插值(36)
2.8.1 三次样条函数(36)
2.8.2 三转角方程(37)
2.8.3 三弯矩方程(39)
2.8.4 计算步骤与例题(40)
2.8.5 三次样条插值的收敛性(41)
小结(42)
习题(43)
第3章 函数逼近与计算(45)
3.1 引言与预备知识(45)
3.1.1 问题的提出(45)
3.1.2 Weierstrass定理(46)
3.1.3 连续函数空间C［a,b］(47)
3.2 最佳一致逼近多项式(47)
3.2.1 最佳一致逼近多项式的存在性(47)
3.2.2 Chebyshev定理(48)
3.2.3 最佳一次逼近多项式(50)
3.3 最佳平方逼近(52)
3.3.1 内积空间(52)
3.3.2 函数的最佳平方逼近(54)
3.4 正交多项式(57)
3.4.1 正交化手续(57)
3.4.2 Legendre多项式(57)
3.4.3 Chebyshev多项式(60)
3.4.4 其他常用的正交多项式(62)
3.5 函数按正交多项式展开(63)
3.6 曲线拟合的最小二乘法(65)
3.6.1 一般的最小二乘逼近(65)
3.6.2 用正交函数作最小二乘拟合(69)
3.6.3 多元最小二乘拟合(71)
3.7 Fourier逼近与快速Fourier变换(71)
3.7.1 最佳平方三角逼近与三角插值(71)
3.7.2 快速Fourier变换(74)
小结(77)
习题(77)
第4章 数值积分与数值微分(80)
4.1 引言(80)
4.1.1 数值求积的基本思想(80)
4.1.2 代数精度的概念(81)
4.1.3 插值型的求积公式(82)
4.2 Newton-Cotes公式(82)
4.2.1 Cotes系数(82)
4.2.2 偶阶求积公式的代数精度(84)
4.2.3 几种低阶求积公式的余项(85)
4.2.4 复化求积法及其收敛性(86)
4.3 Romberg算法(88)
4.3.1 梯形法的递推化(88)
4.3.2 Romberg公式(89)
4.3.3 Richardson外推加速法(91)
4.3.4 梯形法的余项展开式(92)
4.4 Gauss公式(93)
4.4.1 Gauss点(94)
4.4.2 GaussLegendre公式(95)
4.4.3 Gauss公式的余项(96)
4.4.4 Gauss公式的稳定性(96)
4.4.5 带权的Gauss公式(97)
4.5 数值微分(99)
4.5.1 中点方法(99)
4.5.2 插值型的求导公式(100)
4.5.3 实用的五点公式(102)
4.5.4 样条求导(103)
小结(104)
习题(104)
第5章 常微分方程数值解法(106)
5.1 引言(106)
5.2 Euler方法(106)
5.2.1 Euler格式(106)
5.2.2 后退的Euler格式(108)
5.2.3 梯形格式(109)
5.2.4 改进的Euler格式(110)
5.2.5 Euler两步格式(111)
5.3 RungeKutta方法(113)
5.3.1 Taylor级数法(113)
5.3.2 RungeKutta方法的基本思想(114)
5.3.3 二阶RungeKutta方法(115)
5.3.4 三阶RungeKutta方法(116)
5.3.5 四阶RungeKutta方法(118)
5.3.6 变步长的RungeKutta方法(119)
5.4 单步法的收敛性和稳定性(120)
5.4.1 单步法的收敛性(120)
5.4.2 单步法的稳定性(122)
5.5 线性多步法(124)
5.5.1 基于数值积分的构造方法(124)
5.5.2 Adams显式格式(125)
5.5.3 Adams隐式格式(126)
5.5.4 Adams预测校正系统(127)
5.5.5 基于Taylor展开的构造方法(128)
5.5.6 Milne格式(130)
5.5.7 Hamming格式(131)
5.6 方程组与高阶方程的情形(132)
5.6.1 一阶方程组(132)
5.6.2 化高阶方程组为一阶方程组(133)
5.7 边值问题的数值解法(134)
5.7.1 试射法(135)
5.7.2 差分方程的建立(135)
5.7.3 差分问题的可解性(137)
5.7.4 差分方法的收敛性(138)
小结(140)
习题(140)
第6章 方程求根(142)
6.1 根的搜索(142)
6.1.1 逐步搜索法(142)
6.1.2 二分法(142)
6.2 迭代法(144)
6.2.1 迭代过程的收敛性(144)
6.2.2 迭代公式的加工(147)
6.3 Newton法(149)
6.3.1 Newton公式(149)
6.3.2 Newton法的几何解释(150)
6.3.3 Newton法的局部收敛性(151)
6.3.4 Newton法应用举例(152)
6.3.5 Newton下山法(153)
6.4 弦截法与抛物线法(154)
6.4.1 弦截法(155)
6.4.2 抛物线法(156)
6.5 代数方程求根(158)
6.5.1 多项式求值的秦九韶算法(158)
6.5.2 代数方程的Newton法(159)
6.5.3 劈因子法(160)
小结(162)
习题(162)
第7章 解线性方程组的直接方法(164)
7.1 引言(164)
7.2 Gauss消去法(164)
7.2.1 消元手续(165)
7.2.2 矩阵的三角分解(168)
7.2.3 计算量(170)
7.3 Gauss主元素消去法(171)
7.3.1 完全主元素消去法(172)
7.3.2 列主元素消去法(173)
7.3.3 GaussJordan消去法(175)
7.4 Gauss消去法的变形(178)
7.4.1 直接三角分解法(178)
7.4.2 平方根法(181)
7.4.3 追赶法(184)
7.5 向量和矩阵的范数(186)
7.6 误差分析(192)
7.6.1 矩阵的条件数(192)
7.6.2 舍入误差(197)
小结(198)
习题(198)
第8章 解线性方程组的迭代法(202)
8.1 引言(202)
8.2 Jacobi迭代法与GaussSeidel迭代法(204)
8.2.1 Jacobi迭代法(204)
8.2.2 GaussSeidel迭代法(205)
8.3 迭代法的收敛性(206)
8.4 解线性方程组的超松弛迭代法(213)
小结(217)
习题(217)
第9章 矩阵的特征值与特征向量计算(220)
9.1 引言(220)
9.2 幂法及反幂法(222)
9.2.1 幂法(222)
9.2.2 加速方法(225)
9.2.3 反幂法(227)
9.3 Householder方法(230)
9.3.1 引言(230)
9.3.2 用正交相似变换约化矩阵(232)
9.4 QR算法(237)
9.4.1 引言(237)
9.4.2 QR算法(239)
9.4.3 带原点位移的QR方法(242)
小结(246)
习题(246)
下篇 高效算法设计
第10章 快速算法设计：快速Walsh变换(248)
10.1 美的Walsh函数(248)
10.1.1 微积分的逼近法(248)
10.1.2 Walsh函数的复杂性(249)
10.1.3 Walsh分析的数学美(250)
10.2 Walsh函数代数化(251)
10.2.1 时基上的二分集(251)
10.2.2 Walsh函数的矩阵表示(252)
10.3 Walsh阵的二分演化(252)
10.3.1 矩阵的对称性复制(253)
10.3.2 Walsh阵的演化生成(253)
10.3.3 Walsh阵的演化机制(254)
10.3.4 Hadamard阵的演化生成(255)
10.4 快速变换FWT(257)
10.4.1 FWT的设计思想(257)
10.4.2 FWT的演化机制(258)
10.4.3 FWT的计算流程(259)
10.4.4 FWT的算法实现(261)
小结(262)
第11章 并行算法设计：递推计算并行化(263)
11.1 什么是并行计算(263)
11.1.1 一则寓言故事(263)
11.1.2 同步并行算法的设计策略(264)
11.2 叠加计算(265)
11.2.1 倍增技术(265)
11.2.2 二分手续(267)
11.2.3 数列求和的二分法(268)
11.2.4 多项式求值的二分法(269)
11.2.5 二分算法的效能分析(270)
11.2.6 二分算法的基本特征(271)
11.3 一阶线性递推(272)
11.3.1 相关链的二分手续(272)
11.3.2 算式的建立(273)
11.3.3 二分算法的效能分析(275)
11.4 三对角方程组(275)
11.4.1 相关链的二分手续(276)
11.4.2 算式的建立(277)
小结(279)
第12章 加速算法设计：重差加速技术(281)
12.1 千古疑案(281)
12.1.1 阿基米德的“穷竭法”(281)
12.1.2 祖冲之“缀术”之谜(281)
12.2 神来之笔(282)
12.2.1 数学史上一篇千古奇文(282)
12.2.2 “一飞冲天”的“刘徽神算”(283)
12.3 奇光异彩(284)
12.3.1 刘徽的新视野(285)
12.3.2 偏差比中传出好“消息”(286)
12.3.3 只要做一次“俯冲”(286)
12.3.4 差之毫厘，失之千里(287)
12.3.5 “缀术”再剖析(288)
12.3.6 平庸的新纪录(289)
12.4 万能引擎(291)
12.4.1 逼近加速的重差公设(292)
12.4.2 重差加速法则(292)
12.4.3重差加速的逻辑推理(293)
第13章 总览(294)
13.1 算法重在设计(294)
13.1.1 算法设计关系到科学计算的成败(294)
13.1.2 算法设计追求简单与统一(295)
13.2 直接法的缩减技术(295)
13.2.1 数列求和的累加算法(295)
13.2.2 缩减技术的设计机理(296)
13.2.3 多项式求值的秦九韶算法(297)
13.3 迭代法的校正技术(298)
13.3.1 开方算法(298)
13.3.2 校正技术的设计机理(299)
13.4 迭代优化的超松弛技术(300)
13.4.1 超松弛技术的设计机理(300)
13.4.2 刘徽的“割圆术”(300)
13.5 递推加速的二分技术(301)
13.5.1 “结绳记数”的快速算法(301)
13.5.2 二分技术的设计机理(302)
小结(303)
部分习题答案(305)
参考文献(308)