微分几何（修订版）

第一章 三维欧氏空问的曲线论
1 曲线曲线的切向量弧长
2 主法向量与从法向量曲率与挠率
3 Frenet标架Frenet公式
4 曲线在一点邻近的性质
5 曲线论基本定理
6 平面曲线的一些整体性质
6．1 关于闭曲线的一些概念
6．2 切线的旋转指标定理
*6．3 凸曲线
*6．4 等周不等式
*6．5 四顶点定理
*6．6 Cauchy-Crofton公式
7 空间曲线的整体性质
*7．1 球面的Cruflon公式
*7．2 Fenchel定理
*7．3 Fary-Milnor定理
第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何性质
1 曲面的表示切向量法向量
1．1 曲面的定义
1．2 切向量切平面
1．3 法向量
1．4 曲面的参数变换
1．5 例
1．6 单参数曲面族平面族的包络
面可展曲面
2 曲面的第一、第二基本形式
2．1 曲面的第一基本形式
2．2 曲面的正交参数曲线网
2．3 等距对应曲面的内蕴几何学
2．4 共形对应
2．5 曲面的第二基本形式
3 曲面上的活动标架曲面的
基本公式
3．1 省略和式记号的约定
3．2 曲面上的活动标架
曲面的基本公式
3．3 Weingarten变换Ⅳ
3．4 曲面的共轭方向渐近方向
渐近曲线
4 曲面上的曲率
4．1 曲面上曲线的法曲率
4．2 主方向主曲率
4．3 Dupin标线
4．4 曲率线
4．5 主曲率及曲率线的计算
总曲率平均曲率
4．6 曲率线网
4．7 曲面在一点邻近处的形状
4．8 Gauss映射及第三基本形式
4．9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面
5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理
5．1 曲面的基本方程
5．2 曲面论的基本定理
6 测地曲率测地线
6．1 测地曲率向量测地曲率
6．2 计算测地曲率的Liouville公式
6．3 测地线
6．4 法坐标系测地极坐标系测地坐标系
6．5 应用
6．6 测地挠率
6．7 Gauss-Bonnet公式
7 曲面上向量的平行移动
7．1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分
7．2 绝对微分的运算性质
7．3 自平行曲线
7．4 向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示
7．5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系
第三章 曲面的整体性质初步
1 曲面的整体表述
2 曲面上的Gauss-Bonnet公式
3 向量场
4 球面的刚性
*5 极小曲面
*6 完备曲面Hnpf．Rinow定理
*7 微分流形黎曼流形
附录1 向量函数及其运算
1 向量代数
2 向量函数极限
3 向量函数的微分
4 向量函数的积分
附录2 欧氏空间的点集拓扑
1 n维欧氏空间开集闭集
2 连续映射
3 连通集
4 紧致集
5 拓扑空间
5．1 拓扑空间的定义
5．2 拓扑空间中的闭集
5．3 拓扑结构的等价性
5．4 第二可列基公理
5．5 Hausdorff空间
5．6 连续映射同胚映射
5．7 向量空间的拓扑
附录3 微分几何的发展简史
索引