游戏遇见数学：趣味与理性的微妙关系

第1部分数学游戏与抽象游戏 / 1

引言 / 1

生活中的谜题 / 7

第1章数学游戏：从欧拉到卢卡斯 / 11

欧拉与柯尼斯堡的桥 / 11

欧拉与马的游历问题 / 15

卢卡斯与数学游戏 / 20

卢卡斯单人对策游戏的数学计算 / 23

第2章四则抽象游戏 / 26

从杜德尼趣题到戈洛姆游戏 / 28

九子棋 / 30

六边形棋 / 32

国际象棋 / 36

围棋 / 42

第3章数学与游戏：神秘的联系 / 48

游戏和数学的分析都可以在大脑中进行…… / 49

你能“预见”吗？ / 51

一种新型对象 / 52

它们是抽象的 / 56

它们很难 / 57

规则 / 59

规则限定下的隐藏结构 / 60

论证与证明 / 61

确定性、谬误与真理 / 63

玩家也会犯错 / 65

推理、想象力和直觉 / 66

类比的力量 / 67

简单、优雅和美 / 68

一起探索科学与游戏 / 69

第4章为何国际象棋不是数学 / 70

竞争 / 70

问东问西 / 73

数学与游戏式数学 / 75

改变解题的观念 / 76

创造新概念与新对象 / 77

递增的抽象性 / 78

寻找共同结构 / 79

数学与科学的互动 / 80

第5章证明与查证 / 81

数学休闲游戏的局限性 / 82

抽象游戏与答案验证 / 83

如何“证明”11是素数？ / 84

“5是素数”，这是巧合吗？ / 85

证明vs.验证 / 86

结构、模式与表现形式 / 87

任意性与不可控性 / 88

边界附近 / 90

第2部分数学：游戏化的、科学的和感性的 / 95

引言 / 95

第6章游戏化的数学 / 98

引言 / 98

技巧和策略 / 100

立方和与其内在关联 / 103

欧拉的巨作 / 106

第7章欧几里得与其几何游戏规则 / 110

赛瓦定理 / 114

西蒙线 / 116

抛物线及其几何特性 / 117

丹德林球面 / 120

第8章新概念与新对象 / 122

创造“新对象” / 124

它是存在的吗？ / 126

不得不这么做 / 127

无穷与无穷级数 / 128

微积分与切线概念 / 131

抛物线的形状是什么？ / 134

第9章收敛级数与发散级数 / 137

先驱者 / 137

调和级数发散 / 140

奇异的对象和神秘的情景 / 142

发散级数的实际用途 / 145

第10章数学的游戏化 / 146

欧拉与多面体 / 147

群论的发明——发现 / 150

阿蒂亚麦克莱恩之争 / 153

数学与几何 / 155

第11章作为一门科学的数学 / 156

引言 / 156

三角几何：三角形的欧拉线 / 158

现代三角几何学 / 161

七圆定理与其他新的定理 / 165

第12章数字与数列 / 167

平方和 / 168

简单问题，容易答案 / 170

素数 / 171

素数对 / 173

猜想的局限性 / 174

波利亚猜想及其驳斥 / 176

数学实验的局限性 / 177

证明vs.直觉 / 181

第13章计算机与数学 / 184

霍夫施塔德的“好问题” / 186

计算机与数学证明 / 188

计算机与“证明” / 190

结语：公式复公式 / 192

第14章数学与科学 / 193

科学家的抽象 / 193

数学先于科学与技术 / 194

数学在科学中的成功应用 / 196

科学家如何应用数学？ / 198

纯数学与应用数学中的方法和技巧 / 200

积分：求曲线下面积 / 202

摆线 / 206

科学激励着数学的发展 / 210

第15章最短路径：优美的简洁性 / 213

似曾相识的智力题 / 213

赫伦定理的发展 / 217

极值问题 / 219

帕普斯与蜂巢 / 220

第16章基石：感知、想象和洞察 / 221

阿基米德引理与用“看”来证明 / 223

通过剖分进行证明的中国人 / 224

拿破仑定理 / 226

多角数 / 229

分拆问题 / 233

（再谈）发明还是发现？ / 236

第17章结构 / 237

毕达哥拉斯定理 / 239

欧几里得坐标几何学 / 244

中点问题 / 247

挠四边形 / 249

第18章隐藏结构，共同结构 / 252

素数与幸运数 / 252

面纱背后的数学对象 / 254

证明一致性 / 257

结构变换，视角转换 / 259

第19章数学与美 / 263

哈代论数学和国际象棋 / 265

经验与期望 / 267

国际象棋和数学：美与才华 / 268

美、类比与结构 / 269

感知中的美和个体差异 / 271

“博大派”vs.“精深派” / 273

美，形式与理解 / 275

第20章起源：日常生活中的形式 / 277

游戏的心理学意义 / 280

形式性的起和落 / 283

宗教仪式、游戏与数学 / 284

形式性与数学 / 286

隐藏的数学 / 288

风格与文化，以及数学风格 / 290

系统精神vs.问题解决 / 292

视觉vs.语言：几何vs.代数 / 294

女性、游戏与数学 / 296

数学与抽象游戏：内在的紧密联系 / 298