高等工程数学

目 录
前 言
第 1 章 数学建模与误差分析 1
1.1 数学与科学计算 1
1.2 数学建模及其重要意义 1
1.2.1 数学建模的过程 1
1.2.2 数学建模的一般步骤 2
1.2.3 数学建模的重要意义 3
1.3 数值方法与算法评价 4
1.4 误差的种类及其来源 6
1.4.1 模型误差 6
1.4.2 观测误差 6
1.4.3 截断误差 6
1.4.4 舍入误差 7
1.5 绝对误差和相对误差 7
1.5.1 绝对误差和绝对误差限 7
1.5.2 相对误差和相对误差限 8
1.6 误差的传播与估计 9
1.6.1 误差传播估计的一般公式 9
1.6.2 误差在算术运算中的传播 11
1.6.3 算法误差实例分析 12
习题 1 16
第 2 章 城市供水量的预测模型———
插值与拟合算法 18
2.1 城市供水量的预测问题 18
2.2 求未知函数近似表达式的插值法 18
2.2.1 求函数近似表达式的必要性 18
2.2.2 插值多项式的存在唯一性 19
2.3 求插值多项式的拉格朗日( Lagrange) 法 20
2.3.1 拉格朗日插值基函数 20
2.3.2 拉格朗日插值多项式 20
2.3.3 插值余项 22
2.3.4 插值误差的事后估计法 23
2.4 求插值多项式的牛顿法 24
2.4.1 向前差分与牛顿向前插值公式 24
2.4.2 向后差分与牛顿向后插值公式 26
2.4.3 差商与牛顿基本插值多项式 27
2.5 求插值多项式的改进算法 29
2.5.1 分段低次插值 29
2.5.2 三次样条插值 31
2.6 求函数近似表达式的拟合法 36
2.6.1 曲线拟合的最小二乘法 37
2.6.2 加权最小二乘法 44
2.6.3 利用正交函数作最小二乘法拟合 45
2.7 城市供水量预测的简单方法 47
2.7.1 供水量增长率估计与数值微分 47
2.7.2 利用插值多项式求导数 48
2.7.3 利用三次样条插值函数求导 49
2.7.4 城市供水量预测 50
习题 2 54
第 3 章 湘江流量计算问题———数值积分法 56
3.1 数值积分公式的构造及代数精度 56
3.1.1 数值求积的必要性 56
3.1.2 构造数值求积公式的基本方法 56
3.1.3 求积公式的余项 57
3.1.4 求积公式的代数精度 57
3.2 数值求积的牛顿 - 柯特斯方法 58
3.2.1 牛顿 - 柯特斯公式 59
3.2.2 复合牛顿 - 柯特斯公式 60
3.2.3 误差的事后估计与步长的自动选择 63
3.2.4 复合梯形法的递推算式 64
3.3 龙贝格算法 66
3.3.1 龙贝格算法的基本原理 66
3.3.2 龙贝格算法计算公式的简化 68
3.4 高斯型求积公式与测量
位置的优化选取 69
3.4.1 高斯型求积公式的定义 69
3.4.2 高斯型求积公式的构造与应用 70
3.5 湘江流量的估计 72
习题 3 72
第 4 章 养老保险问题———非线性方程求根的数值解法 74
4.1 养老保险问题 74
4.1.1 问题的引入 74
4.1.2 模型分析 74
4.1.3 模型假设 74
4.1.4 模型建立 74
4.1.5 模型求解 75
4.2 非线性方程求根的数值方法 75
4.2.1 根的搜索相关定义 75
4.2.2 逐步搜索法 75
4.2.3 二分法 76
4.2.4 迭代法 77
4.2.5 牛顿公式 82
4.2.6 牛顿法的几何意义 82
4.2.7 牛顿法的局部收敛性 83
4.2.8 牛顿法应用举例 84
4.2.9 牛顿下山法 85
4.2.10 弦截法与物线法 86
4.2.11 多项式求值的秦九韶算法 88
4.2.12 代数方程的牛顿法 89
4.2.13 牛顿法对重根的处理 89
4.3 养老保险模型的求解 90
习题 4 91
第 5 章 小行星轨道方程计算问题———
线性方程组的数值解法 92
5.1 小行星轨道方程问题 92
5.1.1 问题的引入 92
5.1.2 模型的分析 92
5.1.3 模型的假设 93
5.1.4 模型的建立 93
5.2 线性方程组数值解法概述 93
5.3 直接解法 94
5.3.1 高斯消元法 94
5.3.2 矩阵的三角分解 97
5.3.3 高斯消元法的计算量 99
5.3.4 高斯主元素消元法 99
5.3.5 完全主元素消元法 100
5.3.6 列主元消元法 101
5.3.7 高斯 - 约当消元法 103
5.3.8 高斯消元法的变形 105
5.3.9 平方根法 107
5.3.10 追赶法 109
5.4 迭代法 112
5.4.1 雅可比迭代法 113
5.4.2 高斯 - 赛德尔迭代法 114
5.4.3 迭代法的收敛性 115
5.4.4 超松弛迭代法 121
5.5 误差分析 124
5.5.1 矩阵的条件数及误差分析 124
5.5.2 迭代改善法 128
5.5.3 舍入误差分析 130
5.6 小行星轨道方程问题的模型求解 130
习题 5 131
第 6 章 常微分方程数值解法 133
6.1 实际问题的微分方程模型 133
6.2 简单的数值方法与基本概念 134
6.2.1 常微分方程初值问题 134
6.2.2 欧拉法及改进的欧拉法 135
6.2.3 截断误差与算法精度的阶 137
6.3 线性多步法 140
6.3.1 数值积分法 140
6.3.2 待定系数法 142
6.4 非线性单步法———龙格 - 库塔法 144
6.4.1 泰勒展开法 144
6.4.2 龙格 - 库塔法 145
6.5  一阶方程组和高阶方程的初值问题 150
6.6  常微分方程边值问题的数值解法 151
6.6.1 试射法 151
6.6.2 差分法 153
习题 6 156
第 7 章 产品的次品率的推断———估计与检验 157
7.1 问题的提出 157
7.2 基本概念和重要结论 157
7.3 估计方法 161
7.3.1 点估计 161
7.3.2 区间估计 163高等工程数学
7.4 假设检验 165
7.4.1 参数假设检验 165
7.4.2 分布假设检验 169
习题 7 171
第 8 章