高等数学下册（第2版）

目 录
前 言
第8 章 向量代数与空间解析几何……… 1
8. 1 空间直角坐标系…………………… 1
8. 1. 1 空间直角坐标系的建立…………… 1
8. 1. 2 点的坐标的确定………………… 2
8. 1. 3 空间中两点间的距离……………… 2
习题8. 1 ………………………………… 3
8. 2 向量及其线性运算………………… 4
8. 2. 1 向量的概念……………………… 4
8. 2. 2 向量的加法……………………… 4
8. 2. 3 向量的减法……………………… 5
8. 2. 4 向量与数的乘法………………… 5
?8. 2. 5 线性运算的抽象化………………… 7
习题8. 2 ………………………………… 8
8. 3 向量的坐标表达式………………… 8
8. 3. 1 向径的坐标表达式………………… 8
8. 3. 2 一般向量的坐标表达式…………… 9
8. 3. 3 向量线性运算的坐标表达形式………… 10
8. 3. 4 向量的模与方向余弦…………… 11
8. 3. 5 向量在轴上的投影……………… 12
习题8. 3 ………………………………… 13
8. 4 向量的乘积……………………… 13
8. 4. 1 两个向量的数量积……………… 13
8. 4. 2 两个向量的向量积……………… 15
习题8. 4 ………………………………… 18
8. 5 平面及其方程…………………… 19
8. 5. 1 平面的点法式方程……………… 19
8. 5. 2 平面的一般式方程……………… 20
8. 5. 3 平面的截距式方程……………… 22
8. 5. 4 两平面的夹角及两平面垂直或平行的条件…… 23
8. 5. 5 点到平面的距离………………… 24
习题8. 5 ………………………………… 25
8. 6 空间直线及其方程……………… 25
8. 6. 1 空间直线的一般式方程………… 26
8. 6. 2 空间直线的对称式方程与参数方程……… 27
8. 6. 3 两直线的夹角及两直线的平行或垂直的条件… 28
8. 6. 4 直线与平面的夹角……………… 29
习题8. 6 ………………………………… 31
8. 7 曲面及其方程…………………… 32
8. 7. 1 曲面的方程……………………… 32
8. 7. 2 球面及其方程…………………… 33
8. 7. 3 旋转曲面及其方程……………… 33
8. 7. 4 柱面及其方程…………………… 35
习题8. 7 ………………………………… 37
8. 8 空间曲线及其方程……………… 37
8. 8. 1 空间曲线的一般方程…………… 37
8. 8. 2 空间曲线的参数方程…………… 39
8. 8. 3 空间曲线在坐标平面上的投影…… 40
习题8. 8 ………………………………… 41
8. 9 二次曲面………………………… 42
8. 9. 1 椭球面………………………… 43
8. 9. 2 椭圆锥面………………………… 44
8. 9. 3 单叶双曲面……………………… 44
8. 9. 4 双叶双曲面……………………… 44
8. 9. 5 椭圆抛物面……………………… 44
8. 9. 6 双曲抛物面……………………… 45
习题8. 9 ………………………………… 45
8. 10 综合例题选讲…………………… 45
?8. 11 空间解析几何与向量代数的MATLAB 实现… 54
?习题8. 11 ……………………………… 59
综合练习8 ……………………………… 59
第9 章 多元函数微分学………………… 62
9. 1 多元函数的基本概念…………… 62
9. 1. 1 区域…………………………… 62
9. 1. 2 二元函数的概念………………… 64
9. 1. 3 二元函数的极限………………… 65
9. 1. 4 二元函数的连续性……………… 66
习题9. 1 ………………………………… 68
9. 2 偏导数…………………………… 69
9. 2. 1 偏导数的概念…………………… 69
9. 2. 2 偏导数的计算…………………… 70
9. 2. 3 偏导数的几何意义……………… 71
9. 2. 4 偏导数的经济意义……………… 72
9. 2. 5 高阶偏导数……………………… 72
习题9. 2 ………………………………… 74
9. 3 全微分…………………………… 75
9. 3. 1 全微分的概念…………………… 75
9. 3. 2 可微分的条件…………………… 76
9. 3. 3 全微分在近似计算中的应用……… 77
习题9. 3 ………………………………… 78
9. 4 复合函数微分法………………… 78
9. 4. 1 全导数………………………… 78
9. 4. 2 多个自变量复合的情形………… 80
9. 4. 3 全微分形式的不变性…………… 82
9. 4. 4 复合函数的高阶偏导数………… 83
习题9. 4 ………………………………… 83
9. 5 隐函数的微分法………………… 84
9. 5. 1 一个方程确定的隐函数………… 84
9. 5. 2 方程组确定的隐函数…………… 86
习题9. 5 ………………………………… 88
9. 6 方向导数与梯度………………… 89
9. 6. 1 方向导数………………………… 89
9. 6. 2 梯度…………………………… 91
习题9. 6 ………………………………… 93
9. 7 多元函数微分学在几何上的应用……… 94
9. 7. 1 空间曲线的切线和法平面………… 94
9. 7. 2 曲面的切平面与法线…………… 97
习题9. 7 ………………………………… 98
9. 8 多元函数的极值………………… 99
9. 8. 1 二元函数极值的概念…………… 99
9. 8. 2 二元函数极值存在的必要条件…… 99
9. 8. 3 二元函数极值存在的充分条件… 100
9. 8. 4 最大值与最小值………………… 102
习题9. 8 ……………………………… 103
?9. 9 最小二乘法……………………… 103
习题9. 9 ……………………………… 105
9. 10 约束最优化问题……………… 105
9. 10. 1 约束最优化问题的提法………… 105
9. 10. 2 拉格朗日乘数法……………… 106
习题9. 10 ……………………………… 109
?9. 11 多元函数微分学的MATLAB实现… 110
?习题9. 11 ……………………………… 113
综合练习9 …………………………… 113
第10 章 重积分………………………… 115
10. 1 二重积分……………………… 115
10. 1. 1 二重积分的引入……………… 115
10. 1. 2 二重积分的定义……………… 116
10. 1. 3 二重积分的性质……………… 117
习题10. 1 ……………………………… 119
10. 2 二重积分的计算……………… 119
10. 2. 1 二重积分在直角坐标系中
的计算………………………… 119
10. 2. 2 二重积分在极坐标系中的计算… 123
习题10. 2 ……………………………… 126
10. 3 三重积分……………………… 127
10. 3. 1 三重积分的定义及性质………… 127
10. 3. 2 三重积分在直角坐标系中的计算……… 128
10. 3. 3 三重积分在柱面坐标系中的计算………… 131
10. 3. 4 三重积分在球面坐标系中的计算………… 132
习题10. 3 ……………………………… 133
10. 4 重积分的应用………………… 134
10. 4. 1 二重积分在几何上的应用……… 135
10. 4. 2 二重积分在物理上的应用……… 137
习题10. 4 ……………………………… 141
10. 5 典型例题选讲………………… 141
?10. 6 重积分的MATLAB 实现……… 145
10. 6. 1 计算积分的MATLAB 符号法…… 145
10. 6. 2 重积分的数值积分法………… 146
?习题10. 6 ……………………………… 148
综合练习10 …………………………… 149
第11 章 曲线积分与曲面积分………… 151
11. 1 对弧长的曲线积分…………… 151
11. 1. 1 对弧长的曲线积分的概念与性质……… 151
11. 1. 2 对弧长的曲线积分的计算……… 153
习题11. 1 ……………………………… 155
11. 2 对坐标的曲线积分…………… 155
11. 2. 1 对坐标的曲线积分的概念与性质…… 155
11. 2. 2 对坐标的曲线积分的计算法…… 158
? 11. 2. 3 两类曲线积分的关系………… 162
习题11. 2 ……………………………… 163
11. 3 格林公式及其应用…………… 164
11. 3. 1 格林公式……………………… 164
11. 3. 2 平面上曲线积分与路径无关的条件…… 167
11. 3. 3 二元函数的全微分求积………… 168
习题11. 3 ……………………………… 171
11. 4 对面积的曲面积分…………… 172
11. 4. 1 对面积的曲面积分的概念……… 172
11. 4. 2 对面积的曲面积分的计算法…… 173
习题11. 4 ……………………………… 175
11. 5 对坐标的曲面积分…………… 175
11. 5. 1 有向曲面的概念……………… 175
11. 5. 2 对坐标的曲面积分的概念……… 176
11. 5. 3 对坐标的曲面积分的计算……… 179
? 11. 5. 4 两类曲面积分之间的联系……… 182
习题11. 5 ……………………………… 184
11. 6 高斯公式与斯托克斯公式…… 185
11. 6. 1 高斯公式……………………… 185
11. 6. 2 斯托克斯公式………………… 188
? 11. 6. 3 空间曲线积分与路径无关的条件…… 191
习题11. 6 ……………………………… 192
?11. 7 场论初步……………………… 193
11. 7. 1 场的概念……………………… 193
11. 7. 2 梯度场………………………… 194
11. 7. 3 散度场………………………… 194
11. 7. 4 旋度场………………………… 196
习题11. 7 ……………………………… 197
综合练习11 …………………………… 198
第12 章 无穷级数……………………… 200
12. 1 常数项级数…………………… 200
12. 1. 1 常数项级数的概念…………… 200
12. 1. 2 级数的基本性质……………… 203
习题12. 1 ……………………………… 205
12. 2 常数项级数敛散性判别……… 205
12. 2. 1 正项级数审敛准则…………… 205
12. 2. 2 任意项级数审敛法则………… 210
习题12. 2 ……………………………… 213
12. 3 幂级数………………………… 213
12. 3. 1 函数项级数的概念…………… 213
12. 3. 2 幂级数及其敛散性…………… 214
12. 3. 3 幂级数收敛半径与收敛区间…… 216
12. 3. 4 幂级数的运算性质…………… 217
习题12. 3 ……………………………… 219
12. 4 函数