数学分析讲义（第一册）

目录
致读者
第1章 基础知识 1
§1.1 集合与映射 1
§1.1.1 集合 1
§1.1.2 映射 3
§1.2 一元函数 9
§1.2.1 一元函数的定义 9
§1.2.2 具有某些特性的函数 10
§1.2.3 反函数与复合函数 12
§1.2.4 初等函数 14
§1.3 实数系 18
§1.3.1 实数系的形成 18
§1.3.2 实数系的连续性初步 19
第2章 数列极限 22
§2.1 数列极限的概念 22
§2.1.1 数列与数列极限 22
§2.1.2 数列极限的ε-N定义 23
§2.2 数列极限的性质 28
§2.2.1 数列极限的基本性质 28
§2.2.2 数列极限的四则运算性质 30
§2.2.3 无穷小数列与无穷大数列 32
§2.3 数列极限存在的判别法则 40
§2.3.1 单调有界原理 40
§2.3.2 三个重要常数π，e，γ 41
§2.3.3 子数列与致密性定理 (抽子列定理) 45
§2.3.4 Cauchy收敛准则 48
§2.4 级数初步 52
§2.4.1 级数概念 52
§2.4.2 收敛级数的性质 54
§2.4.3 正项级数 56
第3章 函数极限与连续 60
§3.1 函数的极限 60
§3.1.1 函数极限的定义 60？
§3.1.2 函数极限的性质 65
§3.1.3 两个重要极限 69
§3.1.4 函数极限存在的充要条件 71
§3.2 无穷小量与无穷大量 75
§3.2.1 无穷小量及其阶的比较 75
§3.2.2 无穷大量及其阶的比较 78
§3.2.3 等价量及其代换 79
§3.3 函数的连续与间断 83
§3.3.1 函数连续的定义 83
§3.3.2 连续函数的局部性质 85
§3.3.3 间断点及其分类 87
§3.3.4 有限闭区间上连续函数的性质 89
§3.3.5 反函数的连续性定理 91
§3.3.6 初等函数的连续性 93
§3.3.7 一致连续性初步 94
第4章 微分与导数 98
§4.1 微分和导数的定义 98
§4.1.1 微分概念的导出背景 98
§4.1.2 微分的定义 100
§4.1.3 导数的定义 101
§4.1.4 产生导数的实际背景 102
§4.1.5 单侧导数 105
§4.2 导数四则运算和反函数求导法则 108
§4.2.1 几个常见初等函数的导数 108
§4.2.2 导数的四则运算法则 109
§4.2.3 反函数的导数 112
§4.2.4 导数和微分在极限计算中的应用 113
§4.3 复合函数求导法则及其应用 116
§4.3.1 复合函数求导法则 116
§4.3.2 一阶微分的形式不变性 119
§4.3.3 隐函数的导数与微分 120
§4.3.4 参数形式的函数的求导公式 122
§4.4 高阶导数和高阶微分 126
§4.4.1 高阶导数的实际背景及定义 126
§4.4.2 高阶导数的计算 127
§4.4.3 高阶导数的运算法则 129
§4.4.4 复合函数、隐函数、反函数及由参数方程确定的函数的高阶导数 131
§4.4.5 高阶微分 133
第5章 微分中值定理Taylor公式及其应用 136
§5.1 Rolle定理Lagrange中值定理及其应用 136
§5.1.1 极值与Fermat引理 136
§5.1.2 Rolle定理 139
§5.1.3 Lagrange中值定理 140
§5.1.4 Lagrange中值定理的应用 142
§5.2 Cauchy中值定理与 L'Hospital 法则 152
§5.2.1 Cauchy中值定理 152
§5.2.2 L'Hospital法则 154
§5.3 Taylor 公式 160
§5.3.1 带 Peano 型余项的Taylor 公式 161
§5.3.2 带 Lagrange型余项的Taylor 公式 162
§5.3.3 几个常见函数的Maclaurin 公式 164
§5.3.4 带 Peano型余项Taylor公式的唯一性和间接求法 167
§5.4 微分学应用举例 172
§5.4.1 极值的判别 172
§5.4.2 最大值与最小值 173
§5.4.3 曲线的渐近线 175
§5.4.4 函数作图 177
§5.4.5 近似计算 178
§5.4.6 Taylor公式的其他应用 179
第6章 不定积分 184
§6.1 不定积分的概念与运算法则 184
§6.1.1 不定积分概念的提出 184
§6.1.2 基本积分表一 186
§6.1.3 不定积分的线性性质 187
§6.2 换元积分法和分部积分法 188
§6.2.1 换元积分法 189
§6.2.2 分部积分法 193
§6.2.3 基本积分表二 197
§6.3 有理函数的不定积分及应用 199
§6.3.1 有理函数的不定积分 199
§6.3.2 简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 202
参考文献 207
附录 数学分析Ⅰ试卷 208
索引 213