数学分析讲义（第二册）

目录
致读者
第7章 Euclid空间Rn 1
§7.1 实数连续性(续) 1
§7.2 数列的上极限与下极限 4
§7.2.1 数列的上极限与下极限的定义 4
§7.2.2 上极限与下极限的运算性质 8
§7.2.3 上、下极限的等价定义 10
§7.3 闭区间上连续函数的性质(续) 13
§7.3.1 闭区间上连续函数定理(续) 13
§7.3.2 一致连续(续) 13
§7.4 Euclid空间Rn及其子集 18
§7.4.1 Euclid空间Rn 18
§7.4.2 Euclid空间Rn中点列的收敛 20
§7.4.3 Euclid空间Rn中的有界集、开集与闭集 21
§7.5 Euclid空间Rn的连续性 25
§7.5.1 闭区域套定理、致密性定理与Cauchy收敛准则 25
§7.5.2 紧集与道路连通集 26
第8章 定积分 29
§8.1 定积分的基本概念 29
§8.1.1 定积分概念的导出背景 29
§8.1.2 定积分的定义 31
§8.1.3 可积条件 33
§8.2 定积分的基本性质与微积分基本定理 34
§8.2.1 定积分的基本性质 34
§8.2.2 微积分基本定理 36
§8.2.3 Newton-Leibniz公式 38
§8.3 定积分的分部积分法和换元积分法 41
§8.3.1 分部积分法 41
§8.3.2 换元积分法 42
§8.3.3 其他方法 44
§8.4 定积分的应用 48
§8.4.1 定积分在几何学中的应用 48
§8.4.2 定积分在物理学中的应用 59
§8.5 可积性理论 63
§8.5.1 Darboux和及其性质 64
§8.5.2 可积的充要条件 67
§8.5.3 定积分的性质(续) 70
§8.6 微积分的几点注记 77
§8.7 定积分的数值计算 82
§8.7.1 数值积分的基本思想——定积分的近似计算 82
§8.7.2 复化求积公式 84
第9章 多元函数的极限和连续 85
§9.1 多元函数 85
§9.2 多元函数的极限 88
§9.2.1 多元函数的极限概念 88
§9.2.2 累次极限 90
§9.3 多元函数连续性 93
§9.3.1 多元函数连续性的概念及局部性质 93
§9.3.2 向量值函数的极限与连续 95
§9.3.3 连续映射的全局性质 96
第10章 多元函数的微分学 100
§10.1 全微分与偏导数 100
§10.1.1 可微与导数 100
§10.1.2 可偏导与偏导数 102
§10.1.3 方向导数 105
§10.1.4 高阶偏导数 108
§10.1.5 高阶微分 111
§10.1.6 向量值函数的导数与微分 112
§10.2 多元复合函数的求导法则 115
§10.2.1 求复合函数的偏导数的链式法则 116
§10.2.2 复合函数的微分与一阶全微分的形式不变性 119
§10.3 中值定理与Taylor公式 122
§10.3.1 中值定理 123
§10.3.2 Taylor公式 124
§10.4 隐函数 126
§10.4.1 隐函数的概念 127
§10.4.2 隐函数定理 128
§10.4.3 由方程组确定的向量值隐函数定理 133
§10.4.4 逆映射定理 137
§10.5 偏导数在几何中的应用 143
§10.5.1空间曲线的切线与法平面 143
§10.5.2 曲面的切平面与法线 146
§10.6 无条件极值 151
§10.6.1 无条件极值 151
§10.6.2 多元函数的最值 154
§10.6.3 最小二乘法 155
§10.7 条件极值问题与Lagrange乘数法 158
第11章 重积分 168
§11.1 重积分的概念 168
§11.1.1 一般平面图形的面积 169
§11.1.2 二重积分的概念与可积性 172
§11.1.3 n重积分 174
§11.1.4 重积分的性质 175
§11.2 重积分的计算——化为累次积分 178
§11.2.1 矩形区域上重积分的计算 178
§11.2.2 一般区域上重积分的计算 181
§11.3 重积分的变量代换 188
§11.3.1 二重积分的变量代换 188
§11.3.2 n重积分的变量代换 192
§11.4 重积分的应用 200
§11.4.1 曲面面积 200
§11.4.2 重积分的物理应用 204
参考文献 208
附录 数学分析Ⅱ试卷 209
索引 215