微积分（I、II）

目录
序言
第1章 预备知识 1
1.1 数学归纳法 1
1.1.1 归纳法 1
1.1.2 归纳法原理 1
1.1.3 数学归纳法 2
1.2 二项式定理 5
1.3 常用的不等式 7
1.4 复数 12
1.4.1 复数的概念 12
1.4.2 复数的表示 12
1.5 极坐标系 14
1.5.1 极坐标系的概念 14
1.5.2 平面上点的极坐标 15
1.5.3 平面上点的极坐标与直角坐标的关系 15
1.5.4 曲线的极坐标方程 16
1.5.5 由曲线的极坐标方程描绘曲线 17
1.6 集合 20
1.6.1 集合的概念 20
1.6.2 元素与集合的关系 20
1.6.3 集合中元素的特性 20
1.6.4 集合与集合的关系和运算 20
1.6.5 集合的分类 21
1.6.6 常用数集及其表示方法 21
1.6.7 数集的界与确界 21
1.7 函数 22
1.7.1 映射与函数 22
1.7.2 函数的初等性质 24
1.7.3 基本初等函数 27
1.7.4 初等函数 29
1.7.5 隐函数 31
1.7.6 参数式函数 32
习题1 33
第2章 极限理论 36
2.1 数列的极限 36
2.1.1 数列极限的定义 36
2.1.2 数列极限的性质 40
2.1.3 数列极限的存在准则 46
2.2 函数的极限 55
2.2.1 函数极限的定义 56
2.2.2 函数极限的性质 61
2.2.3 函数极限的存在准则 64
2.3 无穷小与无穷大 68
2.3.1 无穷小与无穷大的定义与性质 68
2.3.2 无穷小阶的比较 69
2.3.3 等价无穷小（无穷大）的因式替换 71
2.3.4 无穷小的主部 72
2.4 函数的连续与间断 73
2.4.1 连续函数的概念 73
2.4.2 连续函数的性质 74
2.4.3 函数的间断 77
2.4.4 有界闭区间上连续函数的性质 79
习题2 83
第3章 导数与微分 86
3.1 导数的定义 86
3.1.1 导数的背景 86
3.1.2 基本初等函数的导数 88
3.2 求导法则 91
3.2.1 导数的四则运算法则 91
3.2.2 反函数的求导法则 92
3.2.3 复合函数的求导法则 93
3.2.4 取对数求导法则 95
3.2.5 隐函数的求导法则 96
3.2.6 参数式函数的求导法则 96
3.2.7 导数基本公式表 98
3.3 高阶导数 98
3.3.1 几个初等函数的n阶导数 99
3.3.2 两个函数乘积的高阶导数 101
3.4 微分 103
3.4.1 微分定义与性质 103
3.4.2 微分的运算法则 104
3.4.3 微分的应用：近似计算 106
3.5 微分中值定理 106
3.5.1 费马（Fermat）引理 106
3.5.2 罗尔（Rolle）中值定理 107
3.5.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 108
3.5.4 柯西（Cauchy）中值定理 110
3.6 洛必达法则 113
3.7 泰勒（Taylor）公式 122
3.8 导数的应用 129
3.8.1 函数的单调性 129
3.8.2 函数的极值 134
3.8.3 最值问题 137
3.8.4 函数的凸性和拐点 139
3.8.5 渐近线 148
3.8.6 函数作图 150
3.9 导数在经济学中的应用 152
3.9.1 边际分析 152
3.9.2 弹性分析 155
习题3 157
第4章 一元函数积分学 163
4.1 不定积分 163
4.1.1 原函数与不定积分 163
4.1.2 不定积分的几何意义 165
4.1.3 积分基本公式表 165
4.1.4 不定积分的性质 166
4.1.5 不定积分的计算方法 167
4.1.6 分部积分法 175
4.1.7 有理函数的积分 178
4.1.8 三角函数有理式的积分 181
4.1.9 原函数非初等函数的积分 183
4.2 定积分 183
4.2.1 定积分的概念 183
4.2.2 定积分的几何意义 186
4.2.3 函数可积的充分必要条件 186
4.2.4 定积分的性质 190
4.2.5 微积分基本定理 197
4.2.6 定积分的换元法与分部积分法 202
4.3 反常积分 208
4.3.1 无穷区间上的反常积分的定义 208
4.3.2 无界函数的反常积分（瑕积分）的定义 209
4.3.3 反常积分的基本性质 210
4.3.4 反常积分的基本公式 210
4.3.5.函数 216
4.4 数值积分* 218
4.5 定积分的应用 222
4.5.1 定积分的微元法 222
4.5.2 定积分在几何上的应用 223
4.5.3 定积分在物理学中的应用 238
4.5.4 定积分在经济学中的应用 243
习题4 246
第5章 向量代数与空间解析几何 253
5.1 向量代数 253
5.1.1 空间直角坐标系 253
5.1.2 向量的基本概念 254
5.1.3 向量的线性运算 256
5.1.4 向量的内积 258
5.1.5 向量的外积 260
5.1.6 向量的混合积*262
5.2 平面与直线 264
5.2.1 平面的方程 264
5.2.2 直线的方程 268
5.2.3 直线与平面的位置关系 272
5.2.4 平面束* 273
5.3 空间曲面与空间曲线 275
5.3.1 球面 275
5.3.2 柱面 276
5.3.3 锥面 278
5.3.4 旋转曲面 280
5.3.5 常见的二次曲面的标准方程及其图像 281
习题5 284
附录一 三角公式 286
附录二 极坐标曲线图 287