线性代数

目录
第1章 线性方程组与矩阵 1
1.1 线性方程组的基本概念 1
1.1.1 线性方程组的定义 1
1.1.2 二元和三元线性方程组的几何意义 3
1.2 线性方程组的消元法和初等变换 6
1.2.1 线性方程组的消元法 6
1.2.2 行阶梯形方程组和行最简形方程组 7
1.2.3 线性方程组的初等变换8
1.3 矩阵及其初等变换10
1.3.1 矩阵的概念10
1.3.2 特殊矩阵12
1.3.3 矩阵的初等变换15
1.3.4 线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换的关系16
1.3.5 行阶梯形矩阵、 行最简形矩阵和标准形19
1.3.6 矩阵的秩24
1.4 线性方程组的解的判定定理26
1.4.1 n元非齐次线性方程组的解的判定定理26
1.4.2 n元齐次线性方程组的解的判定定理29
1.5应用举例33
1.6本章小结35
1.7习题一37
第2章行列式44
2.1二阶与三阶行列式44
2.2全排列和对换46
2.2.1全排列及其逆序数46
2.2.2对换47
2.3n阶行列式47
2.4行列式的性质50
2.5行列式按行（列）展开55
2.6行列式的应用 62
2.6.1克拉默(Cramer)法则62
2.6.2平行四边形或三角形的面积66
2.6.3平行六面体的体积66
2.6.4曲线方程67
2.7本章小结68
2.8习题二71
第3章矩阵及其应用76
3.1矩阵的运算76
3.1.1矩阵的加法与数乘运算76
3.1.2矩阵的乘法77
3.1.3方阵的幂与多项式82
3.1.4矩阵的转置83
3.2分块矩阵85
3.2.1分块矩阵的基本概念85
3.2.2常用的分块矩阵86
3.2.3分块矩阵的运算87
3.2.4分块矩阵的应用90
3.3方阵的行列式94
3.3.1方阵行列式的定义94
3.3.2方阵行列式的性质94
3.3.3伴随矩阵及其性质96
3.4方阵的逆矩阵98
3.4.1逆矩阵的定义98
3.4.2逆矩阵的性质99
3.4.3方阵可逆的充要条件100
3.4.4逆矩阵的计算101
3.4.5逆矩阵的应用105
3.5初等矩阵与初等变换109
3.5.1初等矩阵109
3.5.2初等变换与初等矩阵的关系111
3.5.3初等变换与初等矩阵的应用113
3.6矩阵秩的等价刻画119
3.6.1矩阵秩的等价定义119
3.6.2矩阵秩的计算122
3.6.3矩阵秩的性质124
3.6.4矩阵秩的应用126
3.7应用举例126
3.8本章小结129
3.9习题三 134
第4章向量组的线性相关性和向量空间140
4.1 n 维向量140
4.1.1 n维向量的基本概念140
4.1.2向量的线性运算141
4.1.3向量组与矩阵、 线性方程组的关系142
4.2向量组之间的线性表示143
4.3向量组的线性相关性149
4.3.1向量组线性相关性的定义149
4.3.2向量组线性相关性的判定定理150
4.3.3向量组线性相关性的性质151
4.4向量组的秩155
4.4.1向量组的最大无关组和秩155
4.4.2向量组的秩和矩阵的秩的关系157
4.5线性方程组的解的结构161
4.5.1齐次线性方程组的解的结构162
4.5.2非齐次线性方程组的解的结构168
4.6向量空间171
4.6.1向量空间的概念171
4.6.2向量空间的基、 维数和坐标172
4.6.3基变换和坐标变换174
4.7应用举例175
4.8本章小结177
4.9习题四180
第5章方阵的特征值与特征向量理论188
5.1内积与正交矩阵188
5.1.1n维向量的内积188
5.1.2正交向量组与施密特(Schmidt)正交化方法189
5.1.3正交矩阵192
5.2方阵的特征值与特征向量193
5.2.1特征值与特征向量的概念193
5.2.2特征值与特征向量的计算194
5.2.3特征值与特征向量的性质196
5.3方阵的相似对角化198
5.3.1相似矩阵的概念与性质198
5.3.2方阵相似对角化的条件与计算199
5.4实对称矩阵的相似对角化202
5.5应用举例206
5.6本章小结209
5.7习题五211
第6章二次型217
6.1二次型及其矩阵表示217
6.1.1二次型的定义217
6.1.2矩阵的合同219
6.2化二次型为标准形220
6.2.1用正交变换化二次型为标准形221
6.2.2用配方法化二次型为标准形223
*6.2.3用初等(合同)变换法化二次型为标准形225
6.3正定二次型227
6.3.1惯性定理227
6.3.2二次型的正定性229
6.4二次型的应用——二次曲面232
6.5本章小结236
6.6习题六237
附录MATLAB在线性代数中的应用241
参考文献251