基础实分析

目录
《大学数学科学丛书》序
前言
第1章 关系与相关性 1
1.1 集合算术 1
1.1.1 集合比较与运算 1
1.1.2 集族与多元组 4
1.1.3 截口与映射 7
练习 11
1.2 二元关系 12
1.2.1 复合与逆 12
1.2.2 等价关系 16
1.2.3 顺序关系 19
练习 22
1.3 基数算术 23
1.3.1 对等集合 23
1.3.2 基数与其比较 26
1.3.3 基数运算 30
练习 33
1.4 完备序集 34
1.4.1 上确界与下确界 34
1.4.2 上极限与下极限 37
1.4.3 级数与乘积 41
练习 44
第2章 测度与可测性 46
2.1 可列加性 46
2.1.1 测度起源 46
2.1.2 集环 49
2.1.3 集函数 51
练习 54
2.2 集族扩张 56
2.2.1 单调环 56
2.2.2 集族归纳法 60
练习 62
2.3 测度扩张 63
2.3.1 外测度法 63
2.3.2 基本性质 66
2.3.3 唯一扩张 69
练习 70
2.4 常用测度 71
2.4.1 正则性 71
2.4.2 映射与测度计算 74
2.4.3 可乘性 78
练习 81
2.5 可测映射 82
2.5.1 可测性 82
2.5.2 带号函数 85
2.5.3 复值函数 89
练习 92
2.6 函数序列 93
2.6.1 与测度无关的收敛性 94
2.6.2 与测度有关的收敛性 97
2.6.3 阅读材料 101
2.6.4 附录(可测性的延伸) 104
练习 107
第3章 积分与可积性 109
3.1 微量累积 109
3.1.1 积分简史 109
3.1.2 积分运算 113
3.1.3 常用积分 119
练习 121
3.2 极限定理 122
3.2.1 单调收敛性 122
3.2.2 控制收敛性 125
3.2.3 变量代换 127
练习 131
3.3 累次积分 133
3.3.1 乘积测度 133
3.3.2 重积分的计算 136
3.3.3 阅读材料 140
练习 143
3.4 平均收敛 144
3.4.1 几个不等式 144
3.4.2 平均收敛与其特征 147
3.4.3 阅读材料 150
练习 154
3.5 广义测度 155
3.5.1 带号情形 155
3.5.2 加权测度 158
3.5.3 测度比较 161
3.5.4 附录(积分的其他定义方式) 164
练习 168
第4章 导数与可导性 170
4.1 囿变函数 170
4.1.1 全变差 170
4.1.2 囿变函数的性质 173
4.1.3 阅读材料 177
练习 180
4.2 不定积分 181
4.2.1 导出数 181
4.2.2 绝对连续性 184
4.2.3 阅读材料 187
练习 190
4.3 非匀测度 191
4.3.1 从单调函数到容度 191
4.3.2 凑微分与分部积分 195
4.3.3 阅读材料 198
练习 201
4.4 卷积运算 202
4.4.1 基本性质 202
4.4.2 近似幺元 206
4.4.3 光滑逼近 209
练习 212
4.5 傅氏变换 213
4.5.1 基本性质 213
4.5.2 反演和L2-等距性 217
4.5.3 速降函数 220
练习 223
附录1 Perron积分 225
上密度和下密度 225
上积函数与下积函数 226
附录2 从零开始 232
自然数与归纳法 232
整数与带余除法 235
广义实数 239
极限与初等函数 243
复数与四元数 248
序数与超限归纳法 250
序数运算与基数 253
参考文献 257
符号列表 258
术语索引 266
中外人名 277
《大学数学科学丛书》已出版书目 281