大学数学进阶2（法文版）

Table des matières
序 i
前言 iii
Préface et remerciements v
Chapitre 1 équations différentielles 1
1.1 Généralités sur les équations différentielles 2
1.2 Rappels et compléments sur les équations différentielles linéaires 4
1.2.1 Définition d’une équation différentielle linéaire， théorème de Cauchy- Lipschitz linéaire 4
1.2.2 Wronskien et méthode de variation des constantes 6
1.2.3 équations différentielles linéaires à coefficients constants 14
1.2.4 Exemples de résolution d’équations différentielles 14
1.2.4.a équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 14
1.2.4.b équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2 16
1.2.4.c Systèmes différentiels 21
1.3 équations différentielles non linéaires 23
1.3.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz non linéaire et conséquences 23
1.3.2 Cas particulier des équations à variables séparées 26
1.3.3 Exemples d’équations différentielles se ramenant à une équation différentielle linéaire 27
1.3.4 équations autonomes 27
1.3.5 Exemples d’études “qualitatives” 30
1.4 Annexe 33
1.4.1 Démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire 33
Chapitre 2 Intégration 39
2.1 Intégration des fonctions positives 40
2.1.1 Fonction positive intégrable et intégrale d’une fonction positive 40
2.1.2 Propriétés de l’intégrale 41
2.1.3 Lien avec la convergence de l’intégrale généralisée 47
2.1.4 Exemples de référence 50
2.1.5 Critères d’intégrabilité pour les fonctions positives 51
2.1.6 Intégration des relations de comparaisons 55
2.2 Intégration des fonctions à valeurs réelles ou complexes 59
2.2.1 Définition de l’intégrabilité et de l’intégrale 59
2.2.2 Propriétés de l’intégrale 63
2.2.3 Espaces L1(I) et L2(I) 65
2.2.4 Intégration des relations de comparaisons 69
2.3 Outils pour prouver l’intégrabilité et/ou calculer une intégrale 72
2.3.1 Critères simples 72
2.3.2 Domination 74
2.3.3 Intégration par parties 74
2.3.4 Changement de variable 75
2.3.5 Comparaison série et intégrale 79
2.4 Suites de fonctions et intégrales 81
2.4.1 Exposé du problème 81
2.4.2 Cas où l’intervalle est un segment 81
2.4.3 Théorème de convergence monotone et théorème de Beppo-Levi 82
2.4.4 Théorème de convergence dominée de Lebesgue 84
2.4.5 Intégration d’une série de fonctions sur un intervalle quelconque 85
2.5 Intégrales à paramètre 86
2.5.1 Notion de domination et principe des démonstrations 86
2.5.2 Continuité et dérivabilité d’une intégrale à paramètre 87
2.5.3 Fonction . d’Euler 99
2.6 Intégration des fonctions de deux variables 104
2.6.1 Théorème de Fubini sur un produit de deux segments 104
2.6.2 Intégration des fonctions positives sur un pavé quelconque 106
2.6.3 Intégration des fonctions à valeurs réelles ou complexes sur un pavé quelconque 108
2.6.4 Théorèmes de Fubini 109
2.6.5 Exemples de calculs d’intégrales doubles 113
2.6.6 Changement de variable dans les intégrales doubles 114
Chapitre 3 Probabilités 116
3.1 Notion de tribu et définition d’une mesure de probabilité (rappels) 117
3.1.1 Tribus et propriétés des tribus 117
3.1.2 Mesure de probabilité 121
3.2 Variable aléatoire réelle， fonction de répartition et loi de probabilité 125
3.2.1 Variables aléatoires réelles 125
3.2.2 Fonction de répartition et loi d’une variable aléatoire réelle 128
3.3 Variable aléatoire réelle à densité 132
3.3.1 Définition et exemples 132
3.3.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire à densité et premier théorème de transfert 133
3.3.3 Espérance， propriétés de l’espérance et second théorème de transfert 139
3.3.4 Variance et écart-type 142
3.3.5 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev 145
3.4 Lois de probabilités continues usuelles 147
3.4.1 Loi uniforme 147
3.4.2 Loi exponentielle 148
3.4.3 Lois normales 151
3.4.4 Variable aléatoire de loi Gamma 156
3.5 Indépendance 159
3.5.1 Rappels des principales définitions et propriétés concernant l’indépendance 159
3.5.2 Densité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes et à densité 163
3.6 Convergences 169
3.6.1 Convergence presque s.re et convergence en probabilité 169
3.6.2 Loi des grands nombres 174
3.6.3 Convergence en loi 177
3.6.4 Comparaison des différents modes de convergence 179
3.6.5 Théorème “central limit” ou de la limite centrée 182
3.6.6 Approximation de variables aléatoires discrètes 182
Chapitre 4 Séries entières et introduction à l’analyse complexe 190
4.1 Dérivation des fonctions d’une variable complexe 191
4.1.1 Définition et exemples 191
4.1.2 Lien entre C-dérivabilité et R2-différentiabilité， conditions de Cauchy- Riemann 194
4.1.3 Fonctions holomorphes et opérations sur les fonctions C-dérivables 197
4.2 Définition d’une série entière et du rayon de convergence 200