微积分之美

第1章 函数 极限 连续 1
§1．1 函数：微积分的研究对象 1
1．1．1 悬链线 2
1．1．2 函数概念及其演变 3
1．1．3 函数的图象 4
1．1．4 黎曼猜想 5
1．1．5 问题探究：函数之美 6
1．1．6 e是所有数的老师 9
§1．2 数列的极限：微积分的奠基石 11
1．2．1 曲边梯形的面积 12
1．2．2 割圆人间细，方盖宇宙精 12
1．2．3 极限的定性和定量描述 14
1．2．4 问题探究：美是一切事物生成和发展的本质特征 18
§1．3 函数极限：微积分学的研究工具 22
1．3．1 连续复利与“e” 23
1．3．2 函数极限 25
1．3．3 两个重要极限 26
1．3．4 问题探究：极限之美 27
§1．4 无穷小量与无穷大量：无穷是数学的灵魂 30
1．4．1 无穷小量与无穷大量 31
1．4．2 极限的四则运算 32
1．4．3 渐进线的定义 33
1．4．4 无穷小量的比较 34
1．4．5 问题探索：整体之美 35
1．4．6 无穷的文学意境 36
§1．5 连续函数：连续的本质是极限 38
1．5．1 连续函数的概念 38
1．5．2 连续函数的局部形态 40
1．5．3 连续函数整体性态 41
1．5．4 问题探究：以美启智 43
第2章 导数与微分 45
§2．1 导数与微分：心灵思考入微的思想显微镜 45
2．1．1 数学的抽象性使它具有高度的概括性 46
2．1．2 导数思想：无穷小之比 47
2．1．3 导数与微分：差商的极限 47
2．1．4 微分的应用：近似计算 51
2．1．5 问题探究：美在运动 52
§2．2 微分法则：以少为美 55
2．2．1 求导复习 55
2．2．2 微分的四则法则 56
2．2．3 复合函数求导法则 56
2．2．4 反函数的导数 57
2．2．5 高阶导数 58
2．2．6 莱布尼茨公式 58
2．2．7 隐函数的导数 59
2．2．8 参数方程求导公式 59
2．2．9 数学符号的正确应用 60
2．2．10 相关变化率 60
2．2．11 问题探索：运动之美 61
第3章 微分中值定理及其应用 64
§3．1 微分中值定理：局部与整体沟通的桥梁 64
3．1．1 罗尔中值定理 65
3．1．2 拉格朗日定理 66
3．1．3 柯西中值定理 68
3．1．4 人物简介 69
3．1．5 问题探究：化归之美 70
§3．2 洛必达法则和泰勒公式：柯西中值定理的应用 72
3．2．1 泰勒公式：通过无限认识有限 72
3．2．2 洛必达法则 74
3．2．3 问题探究：最美公式 76
§3．3 微分学的应用：运筹帷幄中，决胜千里外 83
3．3．1 函数单调性、极值与最值：最小作用量原理 84
3．3．2 曲线的凹凸性及函数作图：一副图象胜过千言万语 87
3．3．3 问题探究：美就是真 90
第4章 不定积分 97
§4．1 不定积分：寻找原函数 97
4．1．1 不定积分的物理意义 97
4．1．2 不定积分 98
4．1．3 问题探究：进化之美 99
§4．2 积分法：化归有理 100
4．2．1 换元积分法 101
4．2．2 分部积分法 103
4．2．3 有理分式的积分 104
4．2．4 万能代换求三角有理函数积分 107
4．2．5 问题探究：奇异之美 107
第5章 定积分 109
§5．1 定积分：通过局部把握整体 109
5．1．1 曲边梯形的面积 110
5．1．2 定积分的概念 111
5．1．3 定积分的性质 112
5．1．4 定积分思想的人文价值 114
5．1．5 问题探究：对称之美 115
§5．2 微积分基本定理：局部和整体的完美结合 118
5．2．1 微积分基本定理的物理意义 118
5．2．2 微积分基本定理及其应用 119
5．2．3 积分变上限函数 121
5．2．4 问题探究：变换之美 122
5．2．5 自然科学家的偶像和样样皆通的大师 126
5．2．6 微积分传入中国之简史 129
5．2．7 简洁美的范例：广义斯托克斯公式 129
5．2．8 有限与无限 130
5．2．9 微积分之歌 130
附录A 数学学习方法 134
附录B 有限域Chebyshev公钥密码算法 136
附录C 人名索引 137
后记 143
参考资料 144