数学极客 探索数字、逻辑、计算之美

序

译者简介

前言

第一部分　数　　字

第1章　自然数　/2

1.1　自然数的公理化定义　/3

1.2　使用皮亚诺归纳法　/6

第2章　整数　/8

2.1　什么是整数　/8

2.2　自然地构造整数　/10

第3章　实数　/14

3.1　实数的非正式定义　/14

3.2　实数的公理化定义　/17

3.3　实数的构造性定义　/20

第4章　无理数与超越数　/23

4.1　什么是无理数　/23

4.2　聚焦无理数　/24

4.3　无理数和超越数有什么意义，为什么它们很重要　/26

第二部分　有趣的数字第5章　零　/30

5.1　零的历史　/30

5.2　一个令人生厌的困难数字　/33

第6章　e：不自然的自然数　/36

6.1　无处不在的数字　/36

6.2　e的历史　/38

6.3　e有什么含义　/39

第7章　φ：黄金比例　/41

7.1　什么是黄金比例　/42

7.2　荒唐的传奇　/44

7.3　黄金比例真正存在的地方　/46

第8章　i：虚数　/48

8.1　i的起源　/48

8.2　i是做什么的　/50

8.3　i有什么意义　/51

第三部分　书 写 数 字

第9章　罗马数字　/56

9.1　进位系统　/56

9.2　这场混乱来自哪里　/58

9.3　计算很简单（但是算盘更简单）　/59

9.4　传统的过失　/63第10章　埃及分数　/66

10.1　一场4000年前的数学考试　/66

10.2　斐波那契的贪婪算法　/67

10.3　有时美胜过实用　/69第11章　连分数　/70

11.1　连分数简介　/71

11.2　更干净，更清晰，纯粹是为了好玩　/73

11.3　作计算　/75

第四部分　逻　　辑

第12章　斯波克先生与不符合逻辑　/80

12.1　什么是真正的逻辑　/82

12.2　一阶谓词逻辑　/83

12.3　展示一些新东西　/88

第13章　证明、真理和树　/93

13.1　用树来建立简单的证明　/94

13.2　零基础的证明　/96

13.3　家族关系的例子　/98

13.4　分支证明　/100

第14章　使用逻辑编程　/103

14.1　计算家族关系　/104

14.2　使用逻辑计算　/109

第15章　时序推理　/118

15.1　随时间变化的命题　/119

15.2　CTL擅长什么　/124

第五部分　集　　合

第16章　康托尔对角化：无穷不仅是无穷　/128

16.1　朴素的集合　/128

16.2　康托尔对角化　/132

16.3　不要保持简单和直接　/136

第17章　公理化集合论：取其精华，去其糟粕　/139

17.1　ZFC集合论公理　/140

17.2　疯狂的选择　/147

17.3　为什么　/150

第18章　模型：用集合作为搭建数学世界的积木　/151

18.1　构建自然数　/152

18.2　从模型到模型：从自然数到整数，以及超越　/154

第19章　超限数：无限集的计数和排序　/158

19.1　超限基　/158

19.2　连续统假设　/160

19.3　无限何在　/161

第20章　群论：用集合寻找对称性　/164

20.1　费解的对称性　/164

20.2　不同的对称性　/168

20.3　走入历史　/170

20.4　对称性之源　/172

第六部分　机械化数学

第21章　有限状态机：从简单机器开始　/178

21.1　最简单的机器　/178

21.2　实际使用的有限状态机　/182

21.3　跨越鸿沟：从正则表达式到机器　/185

第22章　图灵机　/192

22.1　添加磁带让一切都变得不同　/193

22.2　变元：模仿机器的机器　/198

第23章　计算的核心与病态　/204

23.1　BF：伟大的、光荣的、完全愚蠢的　/206

23.2　图灵完备还是毫无意义　/209

23.3　从庄严到荒谬　/210

第24章　微积分：不是那个微积分，是λ演算　/213

24.1　写λ演算：几乎就是编程　/214

24.2　求值：运行　/218

24.3　编程语言与λ策略　/221

第25章　数字、布尔运算和递归　/224

25.1　λ演算是图灵完备的吗　/224

25.2　计算自身的数字　/225

25.3　决定？回到Church　/228

25.4　递归　/231

第26章　类型，类型，类型：对λ演算建模　/238

26.1　类型简介　/239

26.2　证明　/244

26.3　类型擅长什么　/246

第27章　停机问题　/248

27.1　一个杰出的失败　/249

27.2　是否停机　/251

参考文献　/256