数学发现的艺术：数学探索中的合情推理

目录

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第一章归纳∥1

§1观察和归纳∥1

§2探索接触∥3

§3检验接触∥4

§4归纳的态度∥6

§5归纳的作用—归纳认识∥7

§6归纳的作用—归纳发展∥9

注释、问题与课题∥11

第二章推广一限定一类比∥20

§1一个例子∥20

§2推广∥21

§3限定∥21

§4类比∥22

§5推广、限定和类比∥23

§6用类比来发现∥25

§7类比和归纳∥27

注释、问题与课题∥28

第三章平面几何中的归纳法∥42

§1中国古算∥42

§2归纳中的演绎∥45

§3洞渊九容∥45

§4类比、归纳和演绎∥48

§5公理的诞生∥50

§6演绎中的归纳∥53

§7类比、演绎和数学问题∥54

§8全等与运动∥55

§9从全等到相似∥59

§10完全的归纳与组合∥61

 注释、问题与课题61

第四章从平面到空间∥67

§1类比与推广∥67

§2一个惊人的发现∥68

§3检验∥70

§4空间的划分∥73

§5归纳法、提示演绎法,部分情况提示一般的证明∥77

注释、问题与课题∥79

第五章面积和体积∥83

§1面积纵横∥83

§2面积组成问题∥85

§3归纳中的线索∥88

§4“面积"开发∥89

§5丌的奥妙∥92

§6丌的启示∥98

§7体积问题∥100

§8化归∥103

§9归纳、类比与化归∥104

注释、问题与课题∥105

第六章算术中的归纳法∥14

§1深入地观察∥114

§2形同实异的问题∥119

§3沙里淘金：兔子问题研究∥122

§4一道民间算题∥124

§5确定型问题∥127

§6数学模型∥129

注释、问题与课题∥132

第七章代数中的归纳法∥145

§1历史回顾∥145

§2字母代数∥146

§3意想不到的事情∥148

§4归纳与数学习惯∥150

§5从贾宪到杨辉∥153

§6从牛顿到华罗庚∥155

§7孤立观察∥157

§8四个二次∥159

§9配方法∥161

§10根与系数的关系∥162

注释、问题与课题∥166

第八章抽象—精致的类比∥177

§1欧拉“过桥”的故事∥177

§2抽象∥179

§3类比、推广与抽象∥180

§4直觉与抽象∥181

§5思想实验∥183

§6抽象的层次∥185

§7数学模型(续)∥187

注释、问题与课题∥188

第九章极大与极小∥195

§1极值问题∥195

§2思路分析∥196

§3等值切线模式∥199

§4最大多边形和异面直线问题∥201

§5部分改变模型∥203

§6生活中的极值问题∥205

§7二次模型∥208

§8运输中心问题∥211

§9定值模型∥216

注释、问题与课题∥217

第十章等周问题∥225

§1观察、实验和猜想∥225

§2考查推论∥228

§3确证推论∥230

§4非常贴近∥233

§5等周定理的三种形式∥234

§6副产品∥235

§7应用和问题∥236

§8向空间类推∥237

注释、问题与课题∥237

第十一章最优化问题∥246

§1自然书∥246

§2优选问题∥249

§3两点创新∥253

§4统筹方法∥254

§5简单性∥257

§6中国邮递员问题∥258

§7最优化问题∥260

注释、问题与课题∥261

第十二章计数∥267

§1枚举计数法∥267

§2由法则到公式∥271

§3格图中的计数问题∥274

§4游戏中的数学∥278

§5整边三角形的计数∥282

§6计数问题综观∥287

注释、问题与课题∥287

第十三章组合∥297

§1账单和立方体切割的启示∥297

§2组合因素与组合思想∥299

§3运算中的组合因素∥300

§4数学关系中的组合因素∥303

§5逻辑与组合∥307

§6公式与顺序∥308

§7几何证明中的组合因素∥1311

§8坐标系∥313

§9归纳与组合∥316

注释、问题与课题∥317

第十四章数学全息现象∥327

§1观察与联想∥327

§2算术中的全息现象∥328

§3代数中的全息现象∥332

§4几何中的全息现象∥35

§5全息元和数学全息律∥33

§6归纳、类比、推广与数学全息律∥340

注释、问题与课题∥343

第十五章数学的追求∥350

§1对方法的品评∥350

§2数学的三项追求∥354

§3两个几何公式∥355

§4内在美和形式美∥360

§5“行列式”诞生之谜∥363

§6数学中的奇巧∥366

注释、问题与课题∥370

第十六章合情推理模式∥382

§1合情推理∥382

§2归纳推理模式∥382

§3类比推理模式∥387

§4演绎推理与归纳推理∥389

§5合情推理模式间的逻辑联系∥392

§6余新河数学题赏析∥393

注释、问题与课题∥400

第十七章归纳与数学教学∥407

§1演绎、归纳与数学教学∥407

§2探索式的教学方式∥410

§3实验、直觉与逻辑414

§4波利亚式的解题教学∥416

§5数学方法论的教育方式∥420

§6归纳的学习方式∥422

§7给教师的几点建议∥424

注释、问题与课题∥425

参考解答与提示∥434

第一章归纳∥434

第二章推广一限定一类比∥436

第三章平面几何中的归纳法∥441

第四章从平面到空间∥443

第五章面积和体积∥447

第六章算术中的归纳法∥449