薛定宇教授大讲堂：MATLAB微分方程求解（卷Ⅴ）

第 1章微分方程简介 1
1.1微分方程建模简介 1
1.1.1电路的建模 1
1.1.2力学问题的建模 3
1.1.3社会系统的建模 3
1.2微分方程发展简史 5
1.3本书主要内容 8本
章习题 9
第 2章常微分方程的解析解 10
2.1一阶微分方程的解析解 10
2.1.1可由简单积分求解的微分方程 11
2.1.2齐次线性方程 11
2.1.3非齐次线性方程 12
2.1.4可分离变量的非线性微分方程 13
2.2特殊函数与二阶线性微分方程 14
2.2.1 Gamma函数 15
2.2.2超几何函数 16
2.2.3 Bessel微分方程 17
2.2.4 Legendre微分方程与 Legendre函数 19
2.2.5 Airy函数 20
2.3常系数线性微分方程的求解 21
2.3.1线性常系数微分方程解析解的数学描述 21
2.3.2基于 Laplace变换的求解方法 22
2.3.3非齐次微分方程的求解 24
2.3.4非零初值的微分方程求解 25
2.4一般微分方程的解析解 27
2.4.1简单微分方程的解析解 27
2.4.2常系数高阶线性微分方程的解析解 29
2.4.3线性时变微分方程的解析解 31
2.4.4线性时变微分方程组的求解 32
2.4.5边值问题的计算机求解 33
2.5线性矩阵微分方程的求解 34
2.5.1线性状态空间方程的解析解 35
2.5.2状态方程的直接求解 36
2.5.3 Sylvester微分方程的求解 37
2.5.4基于 Kronecker乘积的 Sylvester微分方程直接求解 38
2.6特殊非线性微分方程的解析解 39
2.6.1可解的非线性微分方程 39
2.6.2解析解不存在的非线性微分方程 41
本章习题 41
第 3章微分方程的初值问题 45
3.1一阶显式微分方程组的初值问题 45
3.1.1初值问题的数学形式 45
3.1.2初值问题解的存在性与唯一性 46
3.2定步长数值算法与实现 46
3.2.1 Euler算法 47
3.2.2二阶 Runge–Kutta算法 50
3.2.3四阶 Runge–Kutta算法 51
3.2.4 Gill算法 52
3.2.5 m阶 Runge–Kutta算法 53
3.2.6定步长多步算法与实现 56
3.3变步长数值算法与实现 58
3.3.1提高求解效率的措施 58
3.3.2变步长方法简介 59
3.3.3四级五阶 Runge–Kutta变步长算法 60
3.3.4基于 MATLAB的微分方程求解函数 61

3.3.5基于 MATLAB的带有附加参数的微分方程求解 65
3.3.6避免附加参数的方法 67
3.4微分方程数值解的验证 68
3.4.1计算结果的验证 68
3.4.2中间计算结果的动态处理 70
3.4.3更高精度的数值计算函数 71
3.4.4计算步长与定步长显示 72
3.4.5高阶非线性微分方程的求解实例 74
本章习题 75
第 4章微分方程的标准型变换 80
4.1单个高阶常微分方程变换方法 80
4.1.1高阶显式微分方程的变换 81
4.1.2时变微分方程的求解方法 84
4.1.3微分方程的奇点 85
4.1.4含有常数参数的状态增广方法 87
4.2复杂高阶微分方程的变换与求解 88
4.2.1含有最高阶导数二次方的微分方程 88

4.2.2含有最高阶导数奇数次方的微分方程 90
4.2.3含有最高阶导数的非线性运算 91
4.3高阶常微分方程组的变换 92
4.3.1简单的显式微分方程组 92
4.3.2定步长算法的局限性 98
4.3.3简单的隐式微分方程组 100
4.3.4更复杂的非线性方程组 102
4.4矩阵型微分方程的变换 104
4.4.1矩阵型微分方程的变换与求解 104
4.4.2 Sylvester微分方程 106
4.4.3 Riccati微分方程 107
4.5一类 Volterra积分微分方程的变换 109
本章习题 112
第 5章特殊微分方程 116
5.1刚性微分方程 116
5.1.1线性微分方程的时间常数 117
5.1.2刚性现象 117
5.1.3刚性微分方程的直接求解 119
5.1.4微分方程刚性的检测 122
5.1.5刚性微分方程的定步长求解 126
5.2隐式微分方程 127
5.2.1隐式微分方程的一般数学描述 127
5.2.2隐式微分方程相容初值的变换 129
5.2.3隐式微分方程的直接求解 131
5.2.4多解隐式微分方程的求解 134
5.3微分代数方程 135
5.3.1微分代数方程的一般形式 135
5.3.2微分代数方程的指数类型 136
5.3.3半显式微分代数方程的直接求解 136

5.3.4微分代数方程直接求解方法的局限性 139
5.3.5一般微分代数方程的隐式微分方程求解 140
5.3.6微分代数方程的指数降型方法 145
5.4切换微分方程 147
5.4.1线性切换微分方程 147
5.4.2过零点检测与事件设置 148
5.4.3非线性切换微分方程 151
5.4.4不连续微分方程 152
5.5线性随机微分方程 154
5.5.1线性随机微分方程的传递函数 154
5.5.2连续随机系统仿真的误区 155
5.5.3随机线性系统的离散化 156
本章习题 160
第 6章延迟微分方程 164
6.1带有延迟常数的延迟微分方程数值解 164
6.1.1从普通微分方程到延迟微分方程 164
6.1.2零历史函数的延迟微分方程求解 166
6.1.3非零历史函数的延迟微分方程 170
6.2变延迟的微分方程 172
6.2.1变延迟的微分方程模型 172
6.2.2基于时间延迟的延迟微分方程 173
6.2.3基于状态延迟的微分方程 176
6.2.4带有广义延迟的延迟微分方程 177
6.3中立型延迟微分方程的求解 179
6.3.1中立型延迟微分方程 179
6.3.2变延迟中立型微分方程 182
6.4带有延迟的 Volterra积分微分方程 183
本章习题 184
第 7章微分方程的性质与行为 187
7.1微分方程的稳定性 187
7.1.1常系数线性微分方程的稳定性 187
7.1.2 Routh–Hurwitz稳定性判据 189

7.1.3 Lyapunov函数与 Lyapunov稳定性 192
7.1.4时变微分方程的自治化 193
7.1.5一般非线性系统的稳定性判定 193

7.1.6基于数值仿真的复杂系统稳定性判定 195
7.2微分方程的特殊行为 197
7.2.1极限环 198
7.2.2周期解 201
7.2.3混沌与吸引子 204
7.2.4 Poincaré映射 208
7.3微分方程的线性化近似 210
7.3.1平衡点 210
7.3.2非线性微分方程的线性化 213
7.3.3平衡点的性态 216
7.4微分方程的分岔 217
本章习题 218
第 8章分数阶微分方程 219
8.1分数阶微积分的定义与数值计算 220
8.1.1分数阶微积分的定义 220

8.1.2不同分数阶微积分定义的关系与性质 221
8.1.3 Grünwald–Letnikov定义的数值计算 222
8.1.4 Caputo微积分定义的数值计算 223
8.2同元次线性分数阶微分方程的解析解 224
8.2.1 Mittag-Leffler函数 224
8.2.2同元次线性分数阶微分方程 225
8.2.3一个重要的 Laplace变换公式 226
8.2.4基于部分分式展开的解析解方法 227
8.3常系数线性分数阶微分方程的数值求解 231
8.3.1线性方程的闭式解法 231

8.3.2 Riemann–Liouville微分方程 233

8.3.3 Caputo微分方程 235
8.3.4等效初值的计算 237
8.3.5微分方程的高精度算法 239
8.4非线性分数阶微分方程的求解 242
8.4.1预估方程 243
8.4.2校正求解方法 246
8.4.3隐式 Caputo微分方程的高精度矩阵算法 247
本章习题 249
第 9章常微分方程的框图求解 251
9.1 Simulink必备知识 252
9.1.1 Simulink简介 252
9.1.2 Simulink相关模块 252
9.2微分方程的框图建模思想 254
9.2.1积分器链与关键信号生成 254
9.2.2微分方程的框图描述方法 255
9.2.3微分方程的求解 257
9.2.4算法与参数设定 258
9.3微分方程建模举例 260
9.3.1一般微分方程组 260
9.3.2微分代数方程 263
9.3.3切换微分方程 265
9.3.4不连续微分方程 267
9.3.5延迟微分方程 267
9.3.6非零历史函数的延迟微分方程 269
9.3.7随机微分方程 271
9.4分数阶微分方程的 Simulink求解 272
9.4.1分数阶算子的模块逼近 273

9.4.2 Riemann–Liouville分数阶微分方程的建模与求解 274
9.4.3 Caputo导数的模块计算 276
9.4.4 Caputo分数阶微分方程的建模与求解 277
9.4.5分数阶延迟微分方程 279
本章习题 280
第 10章微分方程的边值问题 283
10.1微分方程标准边值问题 283
10.2二阶微分方程两点边值问题的打靶求解 284
10.2.1线性时变方程边值问题的打靶算法 285
10.2.2线性微分方程的有限差分算法 287
10.2.3非线性方程边值问题的打靶算法 289
10.3高阶微分方程两点边值问题 293
10.3.1 MATLAB的直接求解函数 293
10.3.2简单边值问题的求解 294
10.3.3复杂边值条件的描述与求解 298
10.3.4带有待定参数的边值问题 298
10.3.5半无穷区间的边值问题 301
10.3.6带有浮动边值的多解微分方程 302
10.3.7积分微分方程的边值问题 303

10.4基于最优化技术的微分方程边值问题求解 304
10.4.1简单边值问题的最优化求解 304
10.4.2隐式微分方程的边值问题 305
10.4.3延迟微分方程的边值问题 308
10.4.4多点已知值的微分方程问题 309
10.4.5浮动边值问题的重新求解 311
10.4.6基于框图的边值问题求解方法 312
10.4.7分数阶微分方程的边值问题 313
本章习题 314
第 11章偏微分方程入门 316
11.1扩散方程的数值求解 317
11.1.1一维扩散方程的数学形式与解析解 317
11.1.2扩散方程的离散化方法 318
11.1.3非齐次扩散方程 321
11.1.4高维扩散方程的数学形式 323
11.2几种特殊形式的偏微分方程 323
11.2.1偏微分方程的分类 323
11.2.2特征值型偏微分方程 325
11.2.3边界条件的分类 325
11.3典型二维偏微分方程求解界面 326
11.3.1偏微分方程求解程序概述 326
11.3.2偏微分方程几何区域绘制 327
11.3.3偏微分方程边界条件描述 328
11.3.4偏微分方程求解举例 329
11.3.5解的其他显示方法 330
11.3.6函数参数的偏微分方程求解 332
11.4一般偏微分方程的求解 333
11.4.1创建空白的偏微分方程对象模型 333
11.4.2几何区域的语句描述 333
11.4.3边界条件与初始条件描述 336
11.4.4偏微分方程的描述 337
11.4.5偏微分方程的数值求解 338
本章习题 343
参考文献 345
MATLAB函数名索引 350
术语索引 354