数学物理方程与进阶分析工具

目录
前言
第一部分 数学物理方程之二阶线性偏微分方程
第1章 波动方程 3
1.1 弦振动方程的导出与定解条件 3
1.1.1 弦振动方程的导出 3
1.1.2 定解条件 7
1.1.3 偏微分方程分类概述 8
1.2 弦振动方程柯西问题的求解 9
1.2.1 达朗贝尔公式 10
1.2.2 达朗贝尔公式的物理意义与特征线 12
1.2.3 半无限长弦振动方程的求解 14
1.2.4 齐次化原理 18
1.3 分离变量法 19
1.3.1 初边值问题的提法 19
1.3.2 含齐次控制方程问题的分离变量法求解 20
1.3.3 分离变量法解的物理意义 25
1.3.4 非齐次方程初边值问题的求解 26
1.4 高维波动方程 28
1.4.1 薄膜振动方程的导出 28
1.4.2 定解问题提法 31
1.4.3 高维波动方程柯西问题的解及其基本性质 32
1.5 波动方程解性质的讨论 36
1.5.1 能量表达式 36
1.5.2 波动方程解性质分析 37
课后习题 39
第2章 热传导方程 44
2.1 热传导方程的导出与定解条件 44
2.1.1 热传导方程的导出 44
2.1.2 热传导方程的定解条件 46
2.1.3 扩散过程的数学描述 47
2.2 柯西问题的求解与积分变换法 48
2.2.1 卷积与傅里叶变换 48
2.2.2 热传导方程柯西问题的求解 50
2.2.3 柯西问题解性质分析 53
2.3 分离变量法 56
2.3.1 热传导方程初边值问题的分离变量法 56
2.3.2 施图姆-刘维尔型方程及其性质 61
2.3.3 齐次化原理 64
2.4 热传导方程解的性质 64
2.4.1 极值原理 65
2.4.2 热传导方程初边值问题的唯一性 66
2.4.3 热传导方程的稳定性 66
课后习题 67
第3章 泊松方程 70
3.1 泊松方程与调和方程 70
3.1.1 方程形式 70
3.1.2 物理背景 71
3.1.3 泊松方程的定解条件 74
3.2 变分原理 75
3.3 调和方程极坐标系表达与径向解 78
3.3.1 拉普拉斯算子极坐标系表达 78
3.3.2 调和方程的径向解 80
3.4 格林函数法 81
3.4.1 格林公式的应用 81
3.4.2 格林函数法求解泊松方程.84
3.4.3 格林函数的性质与讨论 85
3.5 静电源像法 86
3.5.1 三维半空间问题静电源像法 86
3.5.2 球域问题的静电源像法 88
3.6 狄拉克函数与基本解 90
3.6.1 狄拉克函数 90
3.6.2 线性偏微分方程的基本解 92
3.6.3 狄拉克函数与格林函数 93
3.7 定解问题的唯一性 93
3.7.1 平均值公式 94
3.7.2 极值原理与狄利克雷问题解的唯一性 95
3.7.3 强极值原理与诺依曼型边值定解问题解的唯一性 96
3.7.4 能量方法与泊松方程解的唯一性 97
课后习题 97
第4章 二阶线性偏微分方程的分类 101
4.1 二阶线性偏微分方程的分类 101
4.1.1 二阶偏微分方程的标准型 101
4.1.2 二阶线性偏微分方程的分类总结 106
4.1.3 多个自变量二阶线性偏微分方程的分类 108
4.2 二阶线性偏微分方程的相关讨论 113
课后习题 118
第二部分 进阶分析工具之特殊函数
第5章 贝塞尔函数 121
5.1 贝塞尔方程的导出与贝塞尔函数 121
5.1.1 贝塞尔方程的导出 121
5.1.2 第一类贝塞尔函数 123
5.1.3 第二类贝塞尔函数 126
5.2 贝塞尔函数的性质 129
5.2.1 递推公式 129
5.2.2 贝塞尔函数的零点 131
5.2.3 近似公式 132
5.2.4 由贝塞尔函数组成的完备正交系 133
5.2.5 与正余弦函数性质类比 136
5.3 利用贝塞尔函数求解偏微分方程 138
课后习题 145