常微分方程

目录
前言
第1章 一阶微分方程的初等积分法 1
1.1 微分方程的基本概念 1
1.2 变量分离方程 6
1.3 齐次和分式方程 9
1.3.1 齐次方程 9
1.3.2 线性分式形式的微分方程 11
1.4 常数变易法 13
1.4.1 一阶线性微分方程 13
1.4.2 伯努利方程 15
1.5 全微分方程与积分因子 17
1.6 一阶隐式微分方程 23
1.6.1 可以解出y的方程 23
1.6.2 可以解出x的方程 24
1.6.3 不显含y的一阶隐式方程 25
1.6.4 不显含x的一阶隐式方程 27
1.7 微分方程的应用 28
1.7.1 几何问题 28
1.7.2 变化率问题 29
1.7.3 物理问题 30
第2章 线性微分方程组 33
2.1 预备知识 33
2.1.1 矩阵函数的运算性质 34
2.1.2 矩阵范数及收敛性 35
2.2 线性微分方程组解的存在性与唯一性定理 36
2.3 齐次线性微分方程组的通解结构 40
2.3.1 叠加原理 40
2.3.2 向量函数组的线性相关性 40
2.4 非齐次线性微分方程组的通解结构 45
2.5 常系数线性微分方程组的解 48
2.5.1 常系数齐次线性微分方程组的解法——欧拉(Euler)指数法 48
2.5.2 常系数非齐次线性方程组的解法——常数变易法 54
第3章 高阶线性微分方程 57
3.1 高阶线性微分方程的一般理论 57
3.1.1 齐次线性微分方程的解的性质与结构 59
3.1.2 非齐次线性微分方程与常数变易法 61
3.2 高阶常系数线性微分方程的解法 66
3.2.1 复值函数与复值解 67
3.2.2 高阶常系数齐次线性微分方程 69
3.2.3 高阶常系数非齐次线性微分方程 74
3.3 高阶线性微分方程的降阶法 81
第4章 基本理论 86
4.1 皮卡存在唯一性定理 86
4.2 佩亚诺存在性定理 97
4.3 解的延拓 104
4.4 积分不等式 108
4.5 解对初值的依赖性 111
第5章 定性理论初步 119
5.1 动力系统基本概念 119
5.2 李雅普诺夫稳定性 122
5.3 李雅普诺夫直接法 130
5.4 平面平衡点分析 136
5.5 极限环 148
5.6 平面哈密顿系统 153
第6章 一阶偏微分方程初步 157
6.1 基本概念 157
6.2 一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系 159
6.2.1 常微分方程组的首次积分 159
6.2.2 一阶线性齐次偏微分方程与特征方程组 163
6.3 一阶线性齐次偏微分方程的解法 165
6.4 一阶线性非齐次偏微分方程的解法 167
6.5 初值问题 170
参考文献 174