第1章 热传导方程1
11 引言1
12 一维杆中热传导方程的推导2
13 边界条件11
14 平衡温度分布14
141 给定温度14
142 绝热边界16
15 二维或三维热传导方程的推导19
第2章 分离变量法32
21 引言32
22 线性性质32
23 在有限端处具有零温度的热传导方程35
231 概述35
232 分离变量35
233 时变常微分方程37
234 边值问题38
235 乘积解和叠加原理43
236 正弦函数的正交性46
237 实例48
238 小结50
24 有关热传导方程的例子：其他边值问题55
241 绝热端杆中的热传导55
242 细绝热圆环中的热传导59
243 边值问题小结64
25 拉普拉斯方程：求解和定性性质67
251 矩形区域内的拉普拉斯方程67
252 圆盘内的拉普拉斯方程72
253 绕过圆柱体的流体流动（升力）76
254 拉普拉斯方程的定性性质79
第3章 傅里叶级数86
31 引言86
32 收敛定理88
33 傅里叶余弦级数和傅里叶正弦级数92
331 傅里叶正弦级数92
332 傅里叶余弦级数102
333 用正弦级数和余弦级数表示f(x)105
334 偶部和奇部106
335 连续傅里叶级数107
34 傅里叶级数的逐项微分112
35 傅里叶级数的逐项积分123
36 傅里叶级数的复形式127
第4章 波动方程：振动弦与振动膜130
41 引言130
42 弦振动方程的建立130
43 边界条件133
44 端点固定的振动弦137
45 振动膜143
46 电磁波与声波的反射与折射145
461 斯涅耳折射定律146
462 反射波与折射波的强度（振幅）148
463 内部全反射149
第5章 施图姆–刘维尔特征值问题151
51 引言151
52 例子151
521 非均匀杆内的热流151
522 圆对称热流153
53 施图姆–刘维尔特征值问题155
531 一般分类155
532 正则施图姆–刘维尔特征值问题156
533 定理的举例和说明157
54 例子：非均匀杆中的无热源热流163
55 自伴算子和施图姆–刘维尔特征值问题167
56 瑞利商184
57 例子：非均匀弦的振动189
58 第三类边界条件192
59 大特征值（渐近行为）207
510 逼近性质211
第6章 偏微分方程的有限差分数值法217
61 引言217
62 有限差分与截断泰勒级数217
63 热传导方程224
631 概述224
632 偏差分方程224
633 计算226
634 傅里叶–冯·诺伊曼稳定性分析228
635 偏差分方程的分离变量和常差分方程的解析解235
636 矩阵记号238
637 非齐次问题242
638 其他数值格式242
639 其他类型的边界条件243
64 二维热传导方程247
65 波动方程250
66 拉普拉斯方程253
67 有限元法260
671 非正交函数逼近（偏微分方程的弱形式）260
672 最简三角形有限元263
第7章 高维偏微分方程268
71 引言268
72 时间变量的分离269
721 振动膜：任意形状269
722 热传导：任意区域271
723 小结272
73 振动矩形膜272
74 特征值问题?φ+φ= 0的定理叙述和说明282
75 格林公式、自伴算子和多维特征值问题287
76 瑞利商和拉普拉斯方程293
761 瑞利商293
762 依赖时间的热传导方程与拉普拉斯方程294
77 振动圆形膜和贝塞尔函数295
771 概述295
772 分离变量296
773 特征值问题（一维情形）297
774 贝塞尔微分方程299
775 奇异点和贝塞尔微分方程299
776 贝塞尔函数及其渐近性质（在z=0附近）301
777 涉及贝塞尔函数的特征值问题302
778 振动圆形膜的初值问题304
779 圆对称情形305
78 贝塞尔函数的进一步讨论312
781 贝塞尔函数的定性性质312
782 特征值的渐近公式313
783 贝塞尔函数的零点和结点曲线314
784 贝塞尔函数的级数表示316
79 圆柱体上的拉普拉斯方程319
791 概述319
792 分离变量320
793 侧面及顶部或底部为零温度的情形322
794 顶部和底部为零温度的情形323
795 修正贝塞尔函数326
710 球内的问题和勒让德多项式330
7101 概述330
7102 分离变量和一维特征值问题330
7103 连带勒让德函数和勒让德多项式332
7104 径向特征值问题335
7105 乘积解、振动模式和初值问题335
7106 球内部的拉普拉斯方程336
第8章 非齐次问题341
81 引言341
82 有源热流与非齐次边界条件341
83 带齐次边界条件的特征函数展开法（微分特征函数的级数）347
84 利用格林公式的特征函数展开法（带或不带齐次边界条件）353
85 受迫振动膜与共振358
86 泊松方程366
第9章 定常问题的格林函数374
91 引言374
92 一维热传导方程374
93 常微分方程边值问题的格林函数379
931 一维稳态热传导方程379
932 参数变易法379
933 格林函数的特征函数展开法382
934 狄拉克δ函数及其与格林函数的关系384
935 非齐次边界条件391
936 小结392
94 弗雷德霍姆择一性与广义格林函数398
941 概述398
942 弗雷德霍姆择一性400
943 广义格林函数402
95 泊松方程的格林函数409
951 概述409
952 多维狄拉克δ函数与格林函数410
953 用特征函数展开法表示格林函数与弗雷德霍姆择一性411
954 格林函数的直接解法（一维特征函数）（可选）413
955 用格林函数解带非齐次边界条件的问题415
956 无穷空间格林函数416
957 用无穷空间格林函数得到有界区域的格林函数419
958 用无穷空间格林函数求半无穷平面（y>0）的格林函数：像源法420
959 圆的格林函数：像源法423
96 扰动特征值问题430
961 概述430
962 数学例子431
963 拟圆膜振动432
97 小结435
第10章 无穷域问题：偏微分方程的傅里叶变换解法437
101 引言437
102 无穷域上的热传导方程437
103 傅里叶变换对441
1031 傅里叶级数恒等式的启示441
1032 傅里叶变换442
1033 高斯函数的傅里叶逆变换443
104 傅里叶变换与热传导方程450
1041 热传导方程450
1042 傅里叶变换热传导方程：导数的变换455
1043 卷积定理457
1044 傅里叶变换性质小结461
105 傅里叶正弦和余弦变换：半无穷区间上的热传导方程463
1051 概述463
1052 半无穷区间上的热传导方程Ⅰ463
1053 傅里叶正弦和余弦变换465
1054 导数的变换466
1055 半无穷区间上的热传导方程Ⅱ467
1056 傅里叶正弦和余弦变换表469
106 应用变换求解的例子473
1061 无穷区间上的一维波动方程473
1062 半无穷带上的拉普拉斯方程475
1063 半平面上的拉普拉斯方程479
1064 四分之一平面上的拉普拉斯方程482
1065 平面上的热传导方程（二维傅里叶变换）486
1066 二重傅里叶变换表490
107 散射和逆散射495
第11章 波动方程和热传导方程的格林函数499
111 引言499
112 波动方程的格林函数499
1121 概述499
1122 格林公式500
1123 互反性502
1124 使用格林函数504
1125 波动方程的格林函数506
1126 格林函数的另一个微分方程506
1127 一维波动方程的无穷空间格林函数和达朗贝尔解507
1128 三维波动方程的无穷空间格林函数（惠更斯原理）509
1129 二维无穷空间格林函数511
11210 小结511
113 热传导方程的格林函数514
1131 概述514
1132 热传导方程的非自伴特性515
1133 格林公式516
1134 伴随格林函数517
1135 互反性518
1136 用格林函数表示解518
1137 格林函数的另一个微分方程520
1138 扩散方程的无穷空间格林函数521
1139 热传导方程的格林函数（在半无穷域上）522
11310 热传导方程的格林函数（在有限区域上）523
第12章 线性和拟线性波动方程的特征线法527
121 引言527
122 一阶波动方程的特征线528
1221 概述528
1222 一阶偏微分方程的特征线法529
123 一维波动方程的特征线法534
1231 通解534
1232 初值问题（无穷区域）536
1233 达朗贝尔解540
124 半无界弦和反射543
125 定长振动弦的特征线法548
126 拟线性偏微分方程的特征线法552
1261 特征线法552
1262 交通流量553
1263 特征线法(Q=0)555
1264 冲击波558
1265 拟线性举例570
127 一阶非线性偏微分方程575
1271 由波动方程推导出的短时距方程575
1272 求解均匀介质中的短时距方程和反射波576
1273 一阶非线性偏微分方程579
第13章 偏微分方程的拉普拉斯变换解法581
131 引言581
132 拉普拉斯变换的性质581
1321 概述581
1322 拉普拉斯变换的奇点582
1323 导数的变换586
1324 卷积定理587
133 常微分方程初值问题的格林函数591
134 波动方程的信号问题593
135 有限长度振动弦的信号问题597
136 波动方程及其格林函数600
137 用复平面上的围线积分计算拉普拉斯逆变换603
138 利用拉普拉斯变换求解波动方程（复变量）608
第14章 色散波：缓变、稳定性、非线性性和扰动法611
141 引言611
142 色散波和群速度612
1421 行波和色散关系612
1422 群速度Ⅰ615
143 波导617
1431 对f频率集中周期性源的响应620
1432 模式传播的格林函数620
1433 模式不传播的格林函数621
1434 设计思路622
144 光纤623
145 群速度Ⅱ和稳定相位法627
1451 稳定相位法628
1452 对线性色散波的应用630
146 缓变色散波（群速度和焦散曲线）634
1461 色散偏微分方程的近似解634
1462 焦散曲线的形成636
147 波包络方程（集中波数）642
1471 薛定谔方程643
1472 线性化KdV方程645
1473 非线性色散波：KdV方程647
1474 孤立子与逆散射650
1475 非线性薛定谔方程652
148 稳定性和不稳定性656
1481 常微分方程和分歧理论简介656
1482 偏微分方程稳定平衡解的基本例子663
1483 偏微分方程的典型不稳定平衡点和模式形成664
1484 不适定问题667
1485 微不稳定色散波和线性化复金茨堡–朗道方程668
1486 非线性复金茨堡–朗道方程670
1487 长波的不稳定性67
鄂公网安备 42010302001612号 