第一部分 一元实变量函数的Lebesgue积分
第0章 集合、映射与关系的预备知识 3
0.1 集合的并与交 3
0.2 集合间的映射 4
0.3 等价关系、选择公理以及Zorn引理 5
第1章 实数集：集合、序列与函数 7
1.1 域、正性以及完备性公理 7
1.2 自然数与有理数 11
1.3 可数集与不可数集 13
1.4 实数的开集、闭集和Borel集 16
1.5 实数序列 20
1.6 实变量的连续实值函数 25
第2章 Lebesgue测度 29
2.1 引言 29
2.2 Lebesgue外测度 31
2.3 Lebesgue可测集的代数 34
2.4 Lebesgue可测集的外逼近和内逼近 40
2.5 可数可加性、连续性以及Borel-Cantelli引理 43
2.6 不可测集 47
2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函数 49
第3章 Lebesgue可测函数 54
3.1 和、积与复合 54
3.2 序列的逐点极限与简单逼近 60
3.3 Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理 64
第4章 Lebesgue积分 68
4.1 Riemann积分 68
4.2 有限测度集上的有界可测函数的
Lebesgue积分 71
4.3 非负可测函数的Lebesgue积分 79
4.4 一般的Lebesgue积分 85
4.5 积分的可数可加性与连续性 90
4.6 一致可积性：Vitali收敛定理 92
第5章 Lebesgue积分：深入课题 97
5.1 一致可积性和紧性：一般的Vitali收敛定理 97
5.2 依测度收敛 99
5.3 Riemann可积与Lebesgue可积的刻画 102
第6章 微分与积分 107
6.1 单调函数的连续性 108
6.2 单调函数的可微性：Lebesgue定理 109
6.3 有界变差函数：Jordan定理 116
6.4 绝对连续函数 119
6.5 导数的积分：微分不定积分 124
6.6 凸函数 130
第7章 Lp空间：完备性与逼近 135
7.1 赋范线性空间 135
7.2 Young、H鰈der与Minkowski不等式 139
7.3 Lp是完备的：Riesz-Fischer定理 144
7.4 逼近与可分性 150
第8章 Lp空间：对偶与弱收敛 155
8.1 关于Lp（1≤p＜∞）的对偶的Riesz表示定理 155
8.2 Lp中的弱序列收敛 162
8.3 弱序列紧性 171
8.4 凸泛函的最小化 174
第二部分 抽象空间：度量空间、
拓扑空间、Banach空间
和Hilbert空间
第9章 度量空间：一般性质 183
9.1 度量空间的例子 183
9.2 开集、闭集以及收敛序列 187
9.3 度量空间之间的连续映射 190
9.4 完备度量空间 193
9.5 紧度量空间 197
9.6 可分度量空间 204
第10章 度量空间：三个基本定理 206
10.1 Arzelà-Ascoli定理 206
10.2 Baire范畴定理 211
10.3 Banach压缩原理 215
第11章 拓扑空间：一般性质 222
11.1 开集、闭集、基和子基 222
11.2 分离性质 227
11.3 可数性与可分性 228
11.4 拓扑空间之间的连续映射 230
11.5 紧拓扑空间 233
11.6 连通的拓扑空间 237
第12章 拓扑空间：三个基本定理 239
12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理 239
12.2 Tychonoff乘积定理 244
12.3 Stone-Weierstrass定理 247
第13章 Banach空间之间的连续线性算子 253
13.1 赋范线性空间 253
13.2 线性算子 256
13.3 紧性丧失：无穷维赋范线性空间 259
13.4 开映射与闭图像定理 263
13.5 一致有界原理 268
第14章 赋范线性空间的对偶 271
14.1 线性泛函、有界线性泛函以及弱拓扑 271
14.2 Hahn-Banach定理 277
14.3 自反Banach空间与弱序列
收敛性 282
14.4 局部凸拓扑向量空间 286
14.5 凸集的分离与Mazur定理 290
14.6 Krein-Milman定理 295
第15章 重新得到紧性：弱拓扑 298
15.1 Helly定理的Alaoglu推广 298
15.2 自反性与弱紧性：Kakutani定理 300
15.3 紧性与弱序列紧性：Eberlein-mulian定理 302
15.4 弱拓扑的度量化 305
第16章 Hilbert空间上的连续线性算子 308
16.1 内积和正交性 309
16.2 对偶空间和弱序列收敛 313
16.3 Bessel不等式与规范正交基 316
16.4 线性算子的伴随与对称性 319
16.5 紧算子 324
16.6 Hilbert-Schmidt定理 326
16.7 Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻画 329
第三部分 测度与积分：一般理论
第17章 一般测度空间：性质与构造 337
17.1 测度与可测集 337
17.2 带号测度：Hahn与Jordan分解 342
17.3 外测度诱导的Carathéodory测度 346
17.4 外测度的构造 349
17.5 将预测度延拓为测度：Carathéodory-Hahn定理 352
第18章 一般测度空间上的积分 359
18.1 可测函数 359
18.2 非负可测函数的积分 365
18.3 一般可测函数的积分 372
18.4 Radon-Nikodym定理 381
18.5 Nikodym度量空间：Vitali-Hahn-Saks定理 388
第19章 一般的Lp空间：完备性、对偶性和弱收敛性 394
19.1 Lp(X, )（1≤p≤∞）的完备性 394
19.2 关于Lp(X, )（1≤p
19.3 关于L∞(X, )的对偶的Kantorovitch表示定理 404
19.4 Lp(X, )（1＜p＜∞）的弱序列紧性 407
19.5 L1(X, )的弱序列紧性：Dunford-Pettis定理 409
第20章 特定测度的构造 414
20.1 乘积测度：Fubini与Tonelli定理 414
20.2 欧氏空间Rn上的Lebesgue测度 424
20.3 累积分布函数与Borel测度 437
20.4 度量空间上的Carathéodory外测度与Hausdorff测度 441
第21章 测度与拓扑 446
21.1 局部紧拓扑空间 447
21.2 集合分离与函数延拓 452
21.3 Radon测度的构造 454
21.4 Cc(X)上的正线性泛函的表示：Riesz-Markov定理 457
21.5 C（X）的对偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理 462
21.6 Baire测度的正则性 470
第22章 不变测度 477
22.1 拓扑群：一般线性群 477
22.2 Kakutani不动点定理 480
22.3 紧群上的不变Borel测度：von Neumann定理 485
22.4 测度保持变换与遍历性：Bogoliubov-Krilov定理 488
参考文献 495
鄂公网安备 42010302001612号 