函数逼近论及其应用

第1章预备知识1
1.1度量空间和赋范线性空间1
1.1.1度量空间1
1.1.2线性空间3
1.1.3赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间5
1.2线性算子和线性泛函9
1.2.1线性算子和线性泛函的概念10
1.2.2有界线性算子和连续线性泛函11
1.3内积空间13
1.3.1内积空间的基本概念13
1.3.2投影定理15
1.4希尔伯特空间中的正交系17
1.4.1标准正交系的概念18
1.4.2傅里叶（Fourier）级数19
本章小结25
习题26

第2章逼近问题举例28
2.1函数的一致逼近28
2.2函数的最佳逼近29
2.3离散逼近29
2.4样条逼近30
2.5周期函数逼近31
本章小结31
习题31

第3章连续函数的一致逼近33
3.1魏尔斯特拉斯逼近定理33
3.2伯恩斯坦多项式35
3.3伯恩斯坦逼近定理38
3.4伯恩斯坦多项式的导数41
3.5逼近误差的估计45
3.6科罗夫金逼近定理48
3.7谢弗逼近定理50
3.8周期函数的逼近54
3.8.1科罗夫金逼近定理的应用54
3.8.2谢弗逼近定理的应用55
3.9多元函数的逼近58
3.10贝塞尔曲线61
3.10.1贝塞尔曲线的定义61
3.10.2贝塞尔曲线的矩阵表示63
3.10.3贝塞尔曲线的逼近性质64
3.10.4凸包性质65
3.10.5贝塞尔曲线的计算65
3.11贝塞尔曲面66
本章小结67
习题67

第4章最佳逼近的存在性和唯一性69
4.1最佳逼近问题69
4.2最佳逼近的存在性69
4.3最佳逼近的唯一性71
4.4最佳逼近算子及其连续性75
本章小结76
习题76

第5章内积空间中的逼近78
5.1最佳逼近的存在性和唯一性78
5.2最佳逼近的表征79
5.3标准方程组80
5.4正交系81
5.5正交多项式82
5.5.1勒让德多项式85
5.5.2切比雪夫多项式90
5.5.3雅可比多项式96
5.6分段连续函数的逼近96
5.7周期函数逼近99
本章小结100
习题101

第6章线性切比雪夫逼近102
6.1问题的提出102
6.2最佳逼近的表征103
6.3交错定理和哈尔条件104
6.4唯一性及误差估计107
6.5最佳逼近的收敛性109
6.6切比雪夫多项式109
6.7离散的逼近问题111
6.8雷米兹交换算法112
6.8.1基础步骤112
6.8.2交换步骤113
6.8.3交换步骤的实施过程113
6.8.4迭代114
6.9离散问题的交换算法116
本章小结117
习题117

第7章Lq空间内的逼近问题119
7.1问题的提出119
7.2最佳逼近的表征119
7.3Lq空间中的逼近123
7.4哈尔条件124
7.5离散的L1逼近126
7.6线性规划129
7.7不同范数下逼近的比较130
本章小结131
习题131

第8章最佳多项式逼近的收敛性133
8.1问题的提出133
8.2基于伯恩斯坦多项式的估计133
8.3一个特殊的L1逼近问题134
8.4光滑函数的逼近问题136
8.5连续函数的逼近问题139
8.6误差界的估计141
本章小结144
习题144

第9章有理函数逼近146
9.1连分式逼近146
9.2Padé逼近150
9.3Malhey逼近153
本章小结154
习题155

参考文献156