数值分析

目录
第1章 绪论 1
1.1 数值分析的研究对象 1
1.2 误差的来源 1
1.3 绝对误差、相对误差与有效数字 2
1.3.1 绝对误差与相对误差 2
1.3.2 有效数字 4
1.4 误差的传播 5
1.4.1 一元函数计算误差的传播 5
1.4.2 多元函数计算误差的传播 6
1.5 在近似计算中需要注意的一些问题 7
1.5.1 算法的数值稳定性 7
1.5.2 数值算法设计的若干原则 9
习题1 12
第2章 解线性方程组的直接方法 14
2.1 引言 14
2.2 Gauss消元法 15
2.2.1 Gauss消元法的基本思想 15
2.2.2 Gauss消元法的计算公式 15
2.2.3 Gauss消元法的计算量 19
2.3 选主元素的Gauss消元法 20
2.3.1 列主元消元法 20
2.3.2 全主元消元法 21
2.4 Gauss-Jordan消元法 23
2.4.1 Gauss-Jordan消元法的过程 23
2.4.2 方阵求逆 24
2.5 直接三角分解法 25
2.5.1 Gauss消元法的矩阵形式 25
2.5.2 矩阵的三角分解 26
2.5.3 直接三角分解法的计算公式 29
2.6 平方根法与改进的平方根法 31
2.6.1 平方根法 31
2.6.2 改进的平方根法 34
2.7 追赶法 36
2.8 方程组的性态与误差分析 38
2.8.1 向量与矩阵的范数 38
2.8.2 条件数与病态方程组 41
2.8.3 误差分析 44
2.8.4 病态方程组的求解 45
2.9 应用举例 46
习题2 48
第3章 解线性方程组的迭代法 50
3.1 迭代法概述 50
3.1.1 向量序列与矩阵序列的收敛性 50
3.1.2 迭代法的一般形式 51
3.2 几种常用的迭代法 52
3.2.1 Jacobi迭代法 52
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 54
3.2.3 松弛法 55
3.3 迭代法的收敛条件及误差分析 57
3.3.1 矩阵的谱半径 57
3.3.2 迭代法的收敛条件 59
3.3.3 误差估计 63
3.4 应用举例 64
习题3 66
第4章 非线性方程与方程组的数值解法 68
4.1 二分法 68
4.2 迭代法 70
4.2.1 迭代法的基本思想 70
4.2.2 不动点迭代法及其几何意义 70
4.2.3 迭代法的收敛条件 73
4.2.4 迭代法收敛速度 76
4.2.5 Steffensen方法—简单迭代法的加速 77
4.3 Newton迭代法与弦截法 78
4.3.1 Newton迭代法 78
4.3.2 弦截法 81
4.4 抛物线法 82
4.5 非线性方程组的求根 83
4.5.1 不动点迭代法 83
4.5.2 Newton迭代法 85
4.6 应用举例 87
习题4 89
第5章 插值法 91
5.1 插值问题与插值多项式 91
5.1.1 插值问题 91
5.1.2 插值多项式 91
5.2 Lagrange插值 93
5.2.1 线性插值 93
5.2.2 二次插值 94
5.2.3 n次插值 95
5.3 Newton插值 97
5.3.1 差商及其性质 97
5.3.2 Newton插值公式 99
5.3.3 差分及其性质 102
5.3.4 等距节点插值公式 104
5.4 Hermite插值 105
5.4.1 Hermite插值公式 105
5.4.2 Hermite插值的唯一性及余项 107
5.4.3 Hermite插值的一般形式 109
5.5 分段低次插值 110
5.5.1 高次多项式插值的Runge现象 110
5.5.2 分段线性插值 111
5.5.3 分段Hermite插值 113
5.6 三次样条插值 113
5.6.1 样条插值函数的定义 114
5.6.2 三弯矩插值法 115
5.6.3 误差限与收敛性 118
5.7 应用举例 118
习题5 120
第6章 函数逼近与曲线拟合 123
6.1 预备知识 123
6.1.1 权函数与内积 123
6.1.2 正交性 124
6.2 常用的正交多项式 126
6.2.1 Legendre多项式 126
6.2.2 第一类Chebyshev多项式 127
6.2.3 第二类Chebyshev多项式 128
6.2.4 Laguerre多项式 129
6.3 函数的*佳平方逼近 130
6.3.1 *佳平方逼近函数及其求法 130
6.3.2 基于正交函数的*佳平方逼近 133
6.4 曲线拟合的*小二乘法 134
6.4.1 问题描述与求解 134
6.4.2 多项式拟合 138
6.4.3 几种具体的拟合曲线类型 140
6.4.4 用正交多项式作曲线拟合 142
6.5 应用举例 143
习题6 145
第7章 数值积分与数值微分 148
7.1 求积公式 148
7.1.1 数值积分的基本思想 148
7.1.2 插值型求积公式 149
7.1.3 代数精度 150
7.2 Newton-Cotes求积公式 151
7.2.1 Newton-Cotes公式介绍 151
7.2.2 常见的Newton-Cotes公式 152
7.2.3 Newton-Cotes公式的截断误差 153
7.3 复化求积公式 155
7.3.1 复化梯形公式 155
7.3.2 复化Simpson公式 156
7.3.4 逐次分半算法 158
7.4 Romberg积分法 161
7.4.1 Richardson外推法 161
7.4.2 Romberg求积公式 162
7.5 Gauss型求积公式 164
7.5.1 一般理论 164
7.5.2 常用的Gauss型求积公式 167
7.6 数值微分 171
7.6.1 差商型求导公式 171
7.6.2 插值型求导公式 173
7.6.3 Taylor展开法 176
7.6.4 数值微分的外推算法 177
7.7 应用举例 178
习题7 179
第8章 常微分方程的数值解法 181
8.1 Euler方法与向后Euler方法 183
8.1.1 Euler方法 183
8.1.2 Euler方法的误差估计 184
8.1.3 向后Euler方法 185
8.2 梯形方法与改进的Euler方法 186
8.2.1 梯形方法 186
8.2.2 改进的Euler方法 187
8.3 Runge-Kutta方法 189
8.3.1 Runge-Kutta方法的构造思想 189
8.3.2 显式Runge-Kutta方法 190
8.3.3 隐式Runge-Kutta方法 193
8.4 单步法的相容性、收敛性与稳定性 194
8.4.1 相容性 194
8.4.2 收敛性 195
8.4.3 稳定性 196
8.5 线性多步法 198
8.5.1 线性多步法的导出 198
8.5.2 常用的线性多步法 199
8.5.3 预测-校正方法 201
8.6 一阶常微分方程组与高阶微分方程 203
8.6.1 一阶微分方程组的数值解法 203
8.6.2 高阶微分方程的数值解法 204
8.7 应用举例 205
习题8 207
第9章 矩阵特征值与特征向量的计算 209
9.1 预备知识 209
9.2 幂法与反幂法 211
9.2.1 幂法 211
9.2.2 幂法的加速 214
9.2.3 反幂法 216
9.3 Jacobi方法 219
9.4 Householder方法 225
9.4.1 Householder 变换 225
9.4.2 化矩阵为上Hessenberg阵 226
9.4.3 对称三对角矩阵的特征值计算 230
9.4.4 对称三对角矩阵特征向量的计算 232
9.5 QR方法 232
9.5.1 矩阵的QR分解 233
9.5.2 QR方法及其收敛性 234
9.5.3 带原点平移的QR方法 236
9.6 应用实例 237
习题9 238
第10章 MATLAB数学软件与数值计算 240
10.1 MATLAB介绍 240
10.2 MATLAB数值处理简介 241
10.2.1 向量及其运算 241
10.2.2 矩阵及其运算 242
10.3 MATLAB程序设计入门 243
10.3.1 运算符与操作符 243
10.3.2 M文件简介 245
10.3.3 程序结构与控制 246
10.4 MATLAB绘图功能简介 249
10.4.1 MATLAB的图形窗口 249
10.4.2 基本二维图形绘制 250
10.4.3 绘图辅助函数—坐标轴和标注 252
10.4.4 多窗口绘图函数 254
10.5 线性方程组的数值解法 256
10.5.1 直接法 256
10.5.2 迭代法 261
10.6 非线性方程求根 262
10.6.1 二分法 262
10.6.2 Newton法 263
10.7 插值方法 263
10.7.1 Lagrange插值 263
10.7.2 Newton插值 265
10.8 数据拟合与函数逼近 266
10.8.1 多项式数据拟合 266
10.8.2 非线性拟合 267
10.8.3 *佳平方逼近 268
10.9 数值积分 269
10.9.1 非复化的数值积分 269
10.9.2 复化的数值积分 270
10.10 常微分方程初值问题数值解 271
10.10.1 单步法 271
10.10.2 线性多步法 274
10.11 方阵的特征值与特征向量 275
10.11.1 幂法 275
10.11.2 Jacobi方法 276
参考文献 278