微分方程的李群方法

目 录
绪论.1
0.1 李群方法的基本介绍 1
0.2 李群方法的基本作用 3
第 1 章 李群的基本概念与基本理论 4
1.1 李群的基本概念 4
1.1.1 李群的定义 4
1.1.2 无穷小变换 6
1.1.3 李**基本定理与无穷小生成元 7
1.1.4 正则坐标 14
1.2 微分方程延拓的无穷小生成元 16
1.2.1 常微分方程情形 16
1.2.2 偏微分方程情形 21
1.3 微分方程的不变解与不变性准则 32
1.3.1 微分方程的不变解 33
1.3.2 常微分方程的不变性准则.33
1.3.3 偏微分方程的不变性准则.36
1.4 李第二、第三基本定理与李代数 40
第 2 章 整数阶微分方程的不变解与精确解 44
2.1 常微分方程在正则坐标下的精确解.44
2.1.1 一阶常微分方程情形 .44
2.1.2 二阶常微分方程情形 .46
2.2 几类偏微分方程的不变解与精确解.52
2.2.1 (1+1) 维热方程情形 52
2.2.2 组合 KdV-mKdV 方程情形 55
2.2.3 (3+1) 维 Yu-Toda-Sasa-Fukuyama 方程情形.60
2.2.4 广义 Kaup-Boussinesq 方程组情形 65
2.2.5 非线性广义 Zakharov 方程组情形.71
第 3 章 分数阶微分方程的李群理论 77
3.1 Riemann-Liouville 分数阶导数的基本概念.77
3.1.1 特殊函数 77
3.1.2 Riemann-Liouville 分数阶导数的定义和性质 78
3.2 几类分数阶微分方程的不变性准则.79
3.2.1 分数阶常微分方程情形.79
3.2.2 时间分数阶偏微分方程情形 84
3.2.3 时间分数阶偏微分方程组情形 91
3.3 几类分数阶微分方程的李群分析 93
3.3.1 分数阶 Riccati 方程情形 93
3.3.2 线性时间分数阶变系数偏微分方程情形 95
3.3.3 非线性时间分数阶对流扩散方程情形 99
3.3.4 非线性时间分数阶反应对流扩散方程情形 103
3.3.5 时间分数阶耦合 It^o 方程组的不变解 111
第 4 章 偏微分方程守恒向量的构造 115
4.1 整数阶偏微分方程的共轭性概念与守恒向量定理 115
4.1.1 共轭性概念 115
4.1.2 守恒向量定理 117
4.2 两类整数阶非线性偏微分方程的守恒向量构造 121
4.2.1 拓展的 (2+1) 维量子 Zakharov-Kuznetsov 方程情形 121
4.2.2 变系数 Davey-Stewartson 方程组情形 124
4.3 时间分数阶偏微分方程的共轭性概念与守恒向量定理 130
4.3.1 共轭性概念 131
4.3.2 守恒向量定理 133
4.4 几类时间分数阶偏微分方程的守恒向量构造 134
4.4.1 时间分数阶耦合 It^o 方程组情形 134
4.4.2 时间分数阶变系数耦合 Burgers 方程组情形.136
4.4.3 时间分数阶广义 Hirota-Satsuma 耦合 KdV 方程组情形.138
4.4.4 时间分数阶耦合 Hirota 方程组情形 140
第 5 章 偏微分方程基于守恒向量的精确解求解 145
5.1 具有外部源的各向异性非线性扩散方程的精确解 145
5.1.1 非线性自共轭 145
5.1.2 守恒向量约化 148
5.1.3 稳态及非稳态精确解求解 152
5.1.4 修正守恒律下的精确解.157
5.2 具有外部源的各向异性波动方程的精确解 158
5.2.1 非线性自共轭 158
5.2.2 守恒向量约化 161
5.2.3 三角函数型精确解求解.164
5.3 一类非线性色散演化方程组的精确解 165
5.3.1 非线性自共轭 166
5.3.2 守恒向量构造 167
5.3.3 精确解求解 169
第 6 章 李群方法的其他应用 172
6.1 双平方根利率期限结构方程的李群分析.172
6.1.1 无穷小生成元 173
6.1.2 不变解求解 173
6.2 Novikov 方程基于不变解的单尖峰孤子解 177
6.2.1 方程的李群分析 177
6.2.2 单尖峰孤子解 179
6.3 分数阶微分{积分方程的李群分析.182
6.3.1 不变性准则 182
6.3.2 无穷小生成元 185
6.3.3 基于核函数和自由项的李群分析 188
参考文献.191
附录 96
附录 A 无穷小生成元的 Maple 实现 196
A.1 组合 KdV-mKdV 方程情形 196
A.2 非线性广义 Zakharov 方程组情形.196
附录 B Bernoulli 型辅助方程法 197
附录 C tanh 函数型辅助方程法.198
附录 D 分数阶无穷小生成元相关推导 199