Python机器学习中的数学修炼

目录




第1章最优化基础

1.1泰勒公式

1.2黑塞矩阵

1.3正定与半正定矩阵

1.4凸函数与詹森不等式

1.4.1凸函数的概念

1.4.2詹森不等式及其证明

1.4.3詹森不等式的应用

1.5泛函与抽象空间

1.5.1线性空间

1.5.2距离空间

1.5.3赋范空间

1.5.4巴拿赫空间

1.5.5内积空间

1.5.6希尔伯特空间

1.6从泛函到变分法

1.6.1理解泛函的概念

1.6.2关于变分概念

1.6.3变分法的基本方程

1.6.4哈密顿原理

1.6.5等式约束下的变分

第2章概率论基础

2.1概率论的基本概念

2.2随机变量数字特征

2.2.1期望

2.2.2方差

2.2.3矩与矩母函数

2.2.4协方差与协方差矩阵

2.3基本概率分布模型

2.3.1离散概率分布

2.3.2连续概率分布

2.4概率论中的重要定理

2.4.1大数定理

2.4.2中心极限定理

2.5经验分布函数













第3章统计推断

3.1随机采样

3.2参数估计

3.2.1参数估计的基本原理

3.2.2单总体参数区间估计

3.2.3双总体均值差的估计

3.2.4双总体比例差的估计

3.3假设检验

3.3.1基本概念

3.3.2两类错误

3.3.3均值检验

3.4最大似然估计

3.4.1最大似然法的基本原理

3.4.2求最大似然估计的方法

第4章采样方法

4.1蒙特卡洛法求定积分

4.1.1无意识统计学家法则

4.1.2投点法

4.1.3期望法

4.2蒙特卡洛采样

4.2.1逆采样

4.2.2博克斯穆勒变换

4.2.3拒绝采样与自适应拒绝采样

4.3矩阵的极限与马尔可夫链

4.4查普曼柯尔莫哥洛夫等式

4.5马尔可夫链蒙特卡洛方法

4.5.1重要性采样

4.5.2马尔可夫链蒙特卡洛方法的基本概念

4.5.3米特罗波利斯黑斯廷斯算法

4.5.4吉布斯采样

第5章信息论基础

5.1信息论中的熵

5.2微分熵与KullbackLeibler散度

5.2.1微分熵

5.2.2微分熵与香农熵的关系

5.2.3相对熵

5.3率失真函数

5.4香农下边界

第6章一元线性回归

6.1回归分析的性质

6.2回归的基本概念

6.2.1总体的回归函数

6.2.2随机干扰的意义

6.2.3样本的回归函数

6.3回归模型的估计

6.3.1普通最小二乘法原理

6.3.2一元线性回归的应用

6.3.3经典模型的基本假定

6.3.4总体方差的无偏估计

6.3.5估计参数的概率分布

6.4正态条件下的模型检验

6.4.1拟合优度的检验

6.4.2整体性假定检验

6.4.3单个参数的检验

6.5一元线性回归模型预测

6.5.1点预测

6.5.2区间预测

第7章多元线性回归

7.1多元线性回归模型

7.2多元回归模型估计

7.2.1最小二乘估计量

7.2.2多元回归实例

7.2.3总体参数估计量

7.3从线性代数角度理解最小二乘

7.3.1最小二乘问题的通解

7.3.2最小二乘问题的计算

7.4多元回归模型检验

7.4.1线性回归的显著性

7.4.2回归系数的显著性

7.5多元线性回归模型预测

7.6格兰杰因果关系检验

第8章线性回归进阶

8.1更多回归模型函数形式

8.1.1双对数模型以及生产函数

8.1.2倒数模型与菲利普斯曲线

8.1.3多项式回归模型及其分析

8.2回归模型的评估与选择

8.2.1嵌套模型选择

8.2.2赤池信息准则

8.3现代回归方法的新进展

8.3.1多重共线性

8.3.2从岭回归到LASSO

8.3.3正则化与没有免费午餐原理

8.3.4弹性网络

8.3.5RANSAC

第9章逻辑回归与最大熵模型

9.1逻辑回归

9.2牛顿法解Logistic回归

9.3应用实例： 二分类问题

9.3.1数据初探

9.3.2建模

9.4多元逻辑回归

9.5最大熵模型

9.5.1最大熵原理

9.5.2约束条件

9.5.3模型推导

9.5.4极大似然估计

9.6应用实例： 多分类问题

9.6.1数据初探

9.6.2建模

第10章感知机与神经网络

10.1从感知机开始

10.1.1感知机模型

10.1.2感知机学习

10.1.3多层感知机

10.1.4感知机应用示例

10.2基本神经网络

10.2.1神经网络结构

10.2.2符号标记说明

10.2.3后向传播算法

10.3神经网络实践

10.3.1建模

10.3.2Softmax与神经网络

第11章支持向量机与核方法

11.1线性可分的支持向量机

11.1.1函数距离与几何距离

11.1.2最大间隔分类器

11.1.3拉格朗日乘数法

11.1.4对偶问题的求解

11.2松弛因子与软间隔模型

11.3非线性支持向量机方法

11.3.1从更高维度上分类

11.3.2非线性核函数方法

11.3.3机器学习中的核方法

11.3.4默瑟定理

11.4对数据进行分类的实践

11.4.1数据分析

11.4.2线性可分的例子

11.4.3线性不可分的例子

第12章决策树

12.1决策树基础

12.1.1Hunt算法

12.1.2基尼测度与划分

12.1.3信息熵与信息增益

12.1.4分类误差

12.2决策树进阶

12.2.1ID3算法

12.2.2C4.5算法

12.3分类回归树

12.4决策树剪枝

12.5决策树应用实例

第13章集成学习

13.1集成学习的理论基础

13.2Bootstrap方法

13.3Bagging与随机森林

13.3.1算法原理

13.3.2应用实例

13.4Boosting与AdaBoost

13.4.1算法原理

13.4.2应用实例

13.5梯度提升

13.5.1梯度提升树与回归

13.5.2梯度提升树与分类

13.5.3梯度提升树的原理推导

第14章聚类分析

14.1聚类的概念

14.2k均值算法

14.2.1距离度量

14.2.2算法描述

14.2.3应用实例——图像的色彩量化

14.3最大期望算法

14.3.1算法原理

14.3.2收敛探讨

14.4高斯混合模型

14.4.1模型推导

14.4.2应用实例

14.5密度聚类

14.5.1DBSCAN算法

14.5.2应用实例

14.6层次聚类

14.6.1AGNES算法

14.6.2应用实例

14.7谱聚类

14.7.1基本符号

14.7.2拉普拉斯矩阵

14.7.3相似图

14.7.4谱聚类切图

14.7.5算法描述

14.7.6应用实例

第15章矩阵分解、降维与流形学习

15.1主成分分析

15.2奇异值分解

15.2.1一个基本的认识

15.2.2为什么可以做SVD

15.2.3SVD与PCA的关系

15.2.4应用示例与矩阵伪逆

15.3多维标度法

第16章贝叶斯定理及其应用

16.1贝叶斯推断中的基本概念

16.1.1贝叶斯公式与边缘分布

16.1.2先验概率与后验概率

16.1.3共轭分布

16.2朴素贝叶斯分类器原理

16.3贝叶斯网络

16.3.1基本结构单元

16.3.2模型推理

16.4贝叶斯网络的应用示例

16.5隐马尔可夫模型

16.5.1随机过程

16.5.2从时间角度考虑不确定性

16.5.3前向算法

16.5.4维特比算法

附录A数学传奇

参考文献