中算家的计数论

目录
序（李文林） i
前言 iii
第1章 导论 1
1.1 中国传统数学：概念、分期和特征 2
1.1.1 作为数学门类专名的历史更迭 2
1.1.2 中算的历史分期 5
1.1.3 传统数学的机械化特征：吴文俊先生的论述 7
1.2 离散问题：早期的渊源和现代的复兴 11
1.2.1 中英文“计数”的词源及现代意义 11
1.2.2 组合计数的早期发展 14
1.2.3 离散数学与组合计数理论 19
1.3 中国数学史中的“计数”22
1.3.1 从语义学的观点认识“计数” 22
1.3.2 从中算家的观点认识“计数” 23
1.3.3 从组合论的观点认识“计数” 23
1.3.4 从思想史的观点认识“计数” 24
1.3.5 中算计数论经历了五个历史时期 25
前编
第2章 洛书与周易：古代计数思想的起源 29
2.1 龟背上的洛书：世界上*古老的三阶幻方 30
2.1.1 有关河图洛书的历史记载 31
2.1.2 洛书即洪范九畴说、洛书即九宫说 33
2.1.3 河图即天地生成数说、河图即图谶说 35
2.1.4 关于河洛起源讨论的小结 36
2.2 周易卦序：排列与对称的数学 39
2.2.1 《周易》简介 39
2.2.2 易卦的数学解析与邵雍先天图 41
2.2.3 数学视角中易经的几个基本概念 42
2.2.4 二进卦值菱图的构成和性质 45
2.2.5 二进卦值菱图中周易卦序的对称结构 46
2.2.6 易卦卦序结构的扩展研究 48
2.2.7 结语 49
2.3 帛书周易卦序的数学建构 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的数学建构 50
2.3.2 帛书周易方阵的数学结构分析 51
2.3.3 帛书周易六十四卦卦位及下、上卦值构造表 53
2.3.4 结语 54
2.4 行道吉凶表的构成 54
2.4.1 “行道吉凶”包括占卜表和吉凶判据 55
2.4.2 将“行道吉凶”表数字化 56
2.4.3 对“行道吉凶”表构造的分析 57
2.4.4 吉凶统计的结果 58
2.5 对周易揲法与四柱预测的数学解析 59
2.5.1 周易揲法与分揲定理 59
2.5.2 宋代费袞对“鸽笼原理”的应用 63
第3章 律历与博局：古代计数方法的应用 66
3.1 战国简天象玄戈篇：世界上*古老的四阶拉丁方 67
3.1.1 解读玄戈篇：构成一个占星表 69
3.1.2 讨论玄戈占星表结构的五个问题 71
3.1.3 玄戈占星表的标准形式：四阶拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四阶拉丁方”修正玄戈篇原简的缺陷 76
3.1.5 结语 77
3.2 干支纪日：世界上绝无仅有的循环纪日历法 77
3.2.1 天干地支循环计数法的起源与干支序数 78
3.2.2 天干地支的排列、意义和性质 80
3.2.3 干支的同余性质在考释历简年代中的应用 82
3.2.4 从干支的周期性到“年朔序”84
附记：关于“干支历”与“干支纪日的历法”的区别的说明 86
3.3 黄钟大吕：上古音乐中应用的计数方法 86
3.3.1 公元前三分损益法的演进：求十二律的三种途径 87
3.3.2 十二律的精确算法和通项公式 90
3.3.3 放马滩秦简律书与十二律大数计算公式 92
3.3.4 黄钟大数与十二律大数：京房的沿袭 93
3.4 汉代的博局占戏：从干支计数到位置设计 95
3.4.1 西汉木牍记载的博局占图 95
3.4.2 博局占图的数学分析和该图的来源考释 97
3.4.3 标准博局占图的复原 98
3.4.4 博局图与汉代铜镜中的“TLV”纹饰 100
3.4.5 博局游戏：来自《西京杂记》的证据 100
3.4.6 结语 102
3.5 中国的Nim——从古代的游戏到现代的数学 103
3.5.1 西方的Nim就是中国古代的“抓三堆”游戏 103
3.5.2 游戏Nim变成了现代数学名词 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制胜方案，Nim三元系与斯坦纳三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的计算机向你挑战 109
第4章 管墨荀诸子书与战国秦竹简中的计数 110
4.1 《管子》《荀子》《韩非子》中的“计数” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“计数”111
4.1.2 荀子、韩非子论“计数”114
4.2 相关的专题：《墨经》中的算术和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家与《墨经》简介 116
4.2.2《墨经》中的算术和几何知识 117
4.2.3 《墨经》中的集合与区间概念 120
4.2.4 《墨经》有关无穷和极限的概念 122
结语 124
4.3 清华大学藏战国竹简《算表》125
4.3.1 《清华大学藏战国竹简（肆）》算表的发现 125
4.3.2 清华战国竹简算表的构造、解读和应用 126
4.3.3 清华简算表在数学史上的意义 127
4.3.4 全面分析和正确解读简牍数据表 128
4.4 北京大学藏秦简《陈起论数》计数内容分析 129
4.4.1 北大秦简《陈起论数》的释文解读 129
4.4.2《陈起论数》现代汉语译文 133
4.4.3 对北大秦简《陈起论数》的分析 134
上编
第5章 《九章算术》与刘徽注中的比例、数列和体积 141
5.1 《九章》与刘注中的“率”和数列问题 142
5.1.1 刘徽是中国古代伟大的数学家 143
5.1.2 《九章算术》刘徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解决等差、等比、调和数列6题 149
5.1.4 商功章：刍甍、刍童体属于拟柱体 152
5.1.5 均输章：以连比例率解复杂条件的数列4题 155
5.2 刘徽应用比例研究体积关系获得重要定理 159
5.2.1 张衡、刘徽探索球体积的算法 160
5.2.2 刘徽用比例表示的体积定理 163
5.2.3 刘徽在开立圆术注中提出了“牟合方盖” 164
5.3 拓展的研究：刘徽算法与刘徽猜想 165
5.3.1 刘徽算法的推广：用积分表示 166
5.3.2 “以盒盖为方率”求球体积的刘徽猜想 167
第6章 汉唐算经中的算术和计数举隅 172
6.1 《周髀算经》：汉人视野中天地的算术模型 173
6.1.1 数学思想史上两篇重要的对话 174
6.1.2 运用比例、分数和等差数列进行天文计算 176
6.1.3 应用测量和比例计算建立的宇宙模型 179
6.2 《孙子算经》的计数内容 182
6.2.1 数学思想史中的杰作：孙子对算术的评价 182
6.2.2 度量衡单位、筹算计数法和等差、等比数列 183
6.2.3 物不知数问题与各色计数问题 186
6.3 《张邱建算经》中的整数论与计数 189
6.3.1 分数乘除法和*大公约数、*小公倍数 190
6.3.2 等差、等比数列问题 192
6.3.3 不定方程：百鸡问题 196
6.4 《数术记遗》中的珠算和计数工具 197
6.4.1 大数记法和循环计数理论 199
6.4.2 积算、太一算、两仪算 200
6.4.3 三才算、五行算、运筹算 202
6.4.4 珠算和计数 204
第7章 祖冲之和祖暅：精密计算的先驱 207
7.1 祖冲之生平与成就 208
7.1.1 中古的数学天才 208
7.1.2 人类早期数学文明的标志：圆周率 209
7.1.3 祖冲之的科学贡献永载史册 213
7.2 祖冲之计算圆周率的方法探析 214
7.2.1 祖冲之求圆周率方法研究：应用刘徽割圆术 215
7.2.2 华罗庚对割圆术求圆周率的现代表述 217
7.2.3 扩展的研究：求圆周率其他可能的途径 218
7.3 《大明历》采用391年置144闰的新闰周 220
7.3.1 拓展的研究：应用算术方法分析农历和《大明历》 221
7.3.2 闰周的概念与相关连分数和渐近分数 223
7.3.3 “谐月”概念的提出 225
7.4 祖暅继承刘徽从合盖体积获得球体积公式 228
7.4.1 祖暅原理的应用和球体积公式导出 228
7.4.2 扩展的讨论：阿基米德球体积公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 刘徽与祖暅的历史贡献：一个引起讨论的问题 233
中编
第8章 沈括杨辉秦九韶：杰出的计数成果 239
8.1 沈括《梦溪笔谈》中计数成就探析 240
8.1.1 沈括是科学史上的伟人 241
8.1.2 沈括“隙积术”首开中算级数论 243
8.1.3 《梦溪笔谈》棋局都数 245
8.1.4 “六十甲子纳音” 247
8.2 杨辉：纵横图与垛积术 253
8.2.1 杨辉和他的数学著作 253
8.2.2 《续古摘奇算法》是数学史上的奇书 255
8.2.3 贾宪三角形 260
8.2.4 垛积术与数列问题 263
8.3 秦九韶：“道”的思想与两项算法的巅峰之作 267
8.3.1 秦九韶与《数书九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍总数术：仿周易揲法的数学杰作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程数值解的秦九韶程序 276
第9章 朱世杰《四元玉鉴》的垛积招差术 280
9.1 《四元玉鉴》垛积招差术（上） 280
9.1.1 朱世杰的垛积招差术是组合计数的开山之作 281
9.1.2 《四元玉鉴》垛积招差术综述 283
9.1.3 茭草形段7题 286
9.2 《四元玉鉴》垛积招差术（下） 288
9.2.1 箭积交参7题 288
9.2.2 如象招数5题 291
9.2.3 果垛叠藏20题 297
9.3 拓展的研究：朱世杰-范德蒙公式的由来和发展 300
9.3.1 寻找“朱世杰-范德蒙公式”300
9.3.2 钱宝琮先生阐发朱世杰垛积术成果的历史贡献 301
9.3.3 Vandermonde公式的组合意义 303
9.3.4 徐利治先生介绍朱-范公式的现代发展 304
第10章 王文素的计数成就与珠算的发展 306
10.1 《算学宝鉴》中的珠算与计数问题 307
10.1.1 王文素和他的著作《算学宝鉴》 307
10.1.2 珠算乘法的简算法 310
10.1.3 数列、垛积和轮流均数问题 313
10.2 《算学宝鉴》所载幻图和“王文素问题”317
10.2.1 王文素构造的五种幻图 317
10.2.2 王文素问题之一——“三同六变” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素问题”三类子问题 322
10.2.4“王文素问题”的历史价值 326
10.3 相关的进展：珠算申报世界非物质文化遗产的过程 327
10.3.1 珠算在我国文化史、数学史中的重要地位 327
10.3.2 吴文俊先生关心珠算事业的发展