线性代数（法文版）

1    Espaces  vectoriels sur  R ou  C                                                              1
1.1    Généralités   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   1
1.1.1    Premières définitions  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 1
1.1.2    Sous-espaces vectoriels  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  6
1.1.3    Sommes de sous-espaces vectoriels   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   14
1.1.4    Sommes directes   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  17
1.1.5    Supplémentaires   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .     20
1.1.6    Bases   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   22
1.1.7    Dimension finie  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  28
1.2    Applications linéaires .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  39
1.2.1    Généralités   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 39
1.2.2    Images et noyaux .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  43
1.2.3    Projecteurs et symétries  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   49
1.2.4    Cas particulier de la dimension finie   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   52
1.2.5    Factorisation des applications linéaires  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   59
1.3    Dualité    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  70
1.3.1    Étude du dual   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   70
1.3.2    Hyperplans   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   75
1.4    Applications .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 84
1.4.1    Systèmes linéaires   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  84
1.4.2    Interpolation   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  
.  .   88
1.4.3    Fonctions spline     .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  
.  .   92
2    Matrices  et  systèmes  linéaires                                                          
2.1    Matrices  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  97
2.1.1    Définitions    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .    97
2.1.2    Opérations sur les matrices   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 105
2.1.3    Transposition  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  117
2.1.4    Matrices diagonales, matrices triangulaires .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 121
Algèbre linéaire
2.1.5    Trace d’une matrice   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 122
2.1.6    Matrices inversibles    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   123
2.1.7    Changement de bases   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 125
2.1.8    Noyau, image et rang   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 131
2.2    Relations d’équivalence et matrices  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 134
2.2.1    Relations d’équivalence   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 134
2.2.2    Équivalence et similitudes  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 138
2.3    Systèmes linéaires    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  141
2.3.1    Algorithme du pivot de Gauss .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 141
2.3.2    Systèmes linéaires   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   166
2.4    Matrices-blocs .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   170
2.4.1    Définitions    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   170
2.4.2    Utilisation .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  173
2.4.3    Produit de Kronecker   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 175
3    Déterminant                                                                                    180
3.1    Permutations et groupe symétrique  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 180
3.2    Formes p-linéaires sur un espace vectoriel de dimension n    .  .  .  .  .  . 184
3.3    Déterminant d’une famille de vecteurs   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 191
3.4    Déterminant d’une matrice carrée .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 193
3.5    Déterminant d’un endomorphisme   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 195
3.6    Méthodes de calcul de déterminants   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 197
3.7    Un peu de géométrie  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  216
3.8    Retour sur les systèmes linéaires   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   217
4    Réduction  des  endomorphismes                                                                 222
4.1    Éléments propres  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  222
4.2    Polynôme caractéristique    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 234
4.3    Diagonalisation  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  238
4.4    Trigonalisation   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  
244
4.5    Réduction simultanée    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   250
4.6    Applications de la réduction .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   255
4.6.1    Systèmes linéaires récurrents à coe?icients constants  .  .  .  .  . 255
4.6.2    Systèmes linéaires différentiels à coe?icients constants   .  .  .  . 266
4.6.3    Espaces stables  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  275
5    Compléments sur  la  réduction  des  endomorphismes                          280
5.1    Polynômes d’endomorphisme   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 280
Table des matières
5.1.1    Polynômes d’endomorphisme et polynômes annulateurs   .  .  . 280 5.1.2  
 Le lemme des noyaux   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 282
5.1.3    Polynôme minimal  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 285
5.1.4    Théorème de Cayley-Hamilton   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 288
5.1.5    Retour sur le calcul de puissances de matrices .  .  .  .  .  .  .  .  . 290
5.2    Topologie sur les endomorphismes    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 295
5.3    Décomposition de Dunford    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 305
5.4    Commutant et réduction de Jordan .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 310
5.5    Résolution d’équations matricielles  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 315
5.6    Invariants de similitudes  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  333
5.7    Un exemple d’utilisation de la réduction sur un corps fini   .  .  .  .  .  . 357
Définitions                                                                                         360
Théorèmes                                                                                         362
Commandes  Wxmaxima                                       363
Commandes  Python                                         365